Đề bài: Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}x^2-2x^2+3x $ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của $(C)$ tại điểm uốn và chứng minh rằng $\Delta $ là tiếp tuyến cho hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của $(C)$
Lời giải
Dễ thấy điểm uốn của đồ thị là $U\left ( 2;\frac{2}{3} \right )$. Tại $U$ tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc $y'(2)=-1$. Tiếp tuyến $\Delta $ tại điểm uốn của đồ thị $(C)$ có phương trình $y=-1(x-2)+\frac{2}{3}\Leftrightarrow y=-x+\frac{8}{3} $
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x$ là $y'(x)$ và ta có: $y'(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1\geq -1\Rightarrow y'(x)\geq y'(2), \forall x$
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $x=2$ (là hoành độ điểm uốn). Do đó, tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
Trả lời