Đề bài: Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, và $(D)$ là đường thẳng có phương trình $y = ax + b$.1) $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng $(D)$ tiếp xúc với $(C)$?2) Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó $(D)$ cắt $Ox$ và […]
Bài tập Hàm số
Đề: Tính đạo hàm của các hàm số:a) $y = \sqrt[ 5]{ \ln ^3 5x} $; b) $y = \sqrt[ 3]{\frac{1+x^3}{1-x^3} } $c) $y = \left ( \frac{x}{b} \right)^a . \left (\frac{a}{x}\right)^b $ với $a> 0, b > 0$
Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số:a) $y = \sqrt[ 5]{ \ln ^3 5x} $; b) $y = \sqrt[ 3]{\frac{1+x^3}{1-x^3} } $c) $y = \left ( \frac{x}{b} \right)^a . \left (\frac{a}{x}\right)^b $ với $a> 0, b > 0$ Lời giải a) $y = \sqrt[ 5]{\ln^3( 5x )} = (\ln (5x))^ \frac{3}{5} $ $\Rightarrow […]
Đề: Trên parabol $y = {x^2}$, lấy hai điểm $A( – 1, 1), B(3 , 9)$ và một điểm $M$ thuộc cung . Xác định vị trí của $M$ sao cho tam giác $ABM$ có diện tích lớn nhất.
Đề bài: Trên parabol $y = {x^2}$, lấy hai điểm $A( – 1, 1), B(3 , 9)$ và một điểm $M$ thuộc cung . Xác định vị trí của $M$ sao cho tam giác $ABM$ có diện tích lớn nhất. Lời giải Tam giác $AMB$ có cạnh $AB$ cố định $ \Rightarrow $ diện tích […]
Đề: $f(x) = \cos x + \sqrt{2-\cos ^2 x .} $ Tìm $Max f(x) , Min f(x).$
Đề bài: $f(x) = \cos x + \sqrt{2-\cos ^2 x .} $ Tìm $Max f(x) , Min f(x).$ Lời giải Tập xác định là $R$Đặt $\cos x =t.$ Điều kiện của $t: t \in [-1;1] (A)$Hàm số $f(x)$ có dạng : $F=t+\sqrt{2-t^2} $ với $t \in (A)$ $F’ (t) = 1 – \frac{ 1}{ \sqrt{2}-t^2 […]
Đề: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$
Đề bài: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$ Lời giải Với $\forall a \neq 0$ ta có $Q=ay.\frac{x+y}{a}+2zx \leq \frac{a^2y^2+(\frac{x+z}{a})^2}{2}+x^2+z^2$$\Rightarrow Q \leq \frac{a^2y^2+\frac{2(x^2+y^2)}{a^2} }{2}+x^2+z^2=\frac{a^2}{2}y+(1+\frac{1}{a^2})(x^2+z^2) (1)$Ta chọn $a \neq 0$ sao cho $\frac{a^2}{2}=1+\frac{1}{a^2} \Leftrightarrow a^4-2a^2-2=0 \Leftrightarrow a^2=1+\sqrt{3}$Khi đó $(1)$ trở thành $Q \leq […]
Đề: Cho hàm số : $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x }$. Tìm $max y , min y.$
Đề bài: Cho hàm số : $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x }$. Tìm $max y , min y.$ Lời giải Tập xác định của hàm số là : $\left\{ \begin{array}{l}0 \le \sin {\rm{x }} \le 1\\0 \le \cos x \le 1 (\alpha )\end{array} \right.$ Với $x \in (\alpha )$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}0 […]
Đề: Cho hàm số: $y = {x^3} – 3x\,\,(1)$$1$. Khảo sát hàm số ($1).$$2$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, đường thẳng cho bởi phương trình $y = m(x + 1) + 2$ luôn cắt đồ thị hàm số ($1$) tại một điểm $A$ cố định.Hãy xác định các giá trị của $m$ để đường thẳng cắt đồ thị hàm số ($1$) tại $3$ điểm $A, B, C$ khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau.
Đề bài: Cho hàm số: $y = {x^3} – 3x\,\,(1)$$1$. Khảo sát hàm số ($1).$$2$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, đường thẳng cho bởi phương trình $y = m(x + 1) + 2$ luôn cắt đồ thị hàm số ($1$) tại một điểm $A$ cố định.Hãy xác định các giá trị của $m$ […]
Đề: Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a+b=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $A=16ab(a-b)^2$
Đề bài: Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a+b=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $A=16ab(a-b)^2$ Lời giải Theo bất đẳng thức Côsi ta có biến đổi : $A=4(4ab).(a-b)^2\leq 4[\frac{4ab+(a-b)^2}{2}]^2=(a+b)^4=1$Vậy, ta được $A_{\max=}=1$, đạt được khi: $\begin{cases}a+b=1 \\ 4ab=(a-b)^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=1-a \\ a^2+b^2-6ab=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=1-a \\ a^2+(1-a)^2-6a(1-a)=0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow […]
Đề: Cho hàm số: $y = {x^4} – a{x}^3 – (2a + 1){x^2} + ax + 1$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $a = 0$.2) Tìm điểm $A$ thuộc trục tung sao cho qua $A$ có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị ở phần 1
Đề bài: Cho hàm số: $y = {x^4} – a{x}^3 – (2a + 1){x^2} + ax + 1$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $a = 0$.2) Tìm điểm $A$ thuộc trục tung sao cho qua $A$ có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị ở phần […]
Đề: Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – 1}}\)$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=2$$2$. Biện luận theo tham số $a$ về số nghiệm của phương trình \(\frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}} + {\log _{\frac{1}{2}}}a = 0\)$3$. Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)
Đề bài: Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – 1}}\)$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=2$$2$. Biện luận theo tham số $a$ về số nghiệm của phương trình \(\frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}} + {\log _{\frac{1}{2}}}a = 0\)$3$. Với những giá trị […]