Bài tập Hàm số

Đề bài: Cho hàm số \(y=f(x)=2x^{2}-x+1\).a) Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm \(x\).b) Tìm phương trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ \(x=1\). Lời giải a) Đạo hàm tại điểm \(x\):\(y'(x)=f'(x)=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{[2(x+\Delta […]

Đề bài: Tìm đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x^{2}-x+6}\). Lời giải \(f(x)=\frac{1}{5}[\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}]\)\(f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!}{5}[\frac{1}{(x-3)^{n+1}}-\frac{1}{(x+2)^{n+1}}]\). Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:\(f’=\frac{1}{5}[\frac{-1}{(x-3)^{2}}- \frac{-1}{(x+2)^{2}}]=\frac{-1}{5}[\frac{1}{(x-3)^{2}}-\frac{1}{(x+2)^{2}}]\)\(f”=\frac{-1}{5}[\frac{-2}{(x-3)^{3}}-\frac{-2}{(x+2)^{3}}]=\frac{2}{5}[\frac{1}{(x-3)^3}-\frac{1}{(x+2)^{3}}]\)giả sử đúng với bậc k: \(f^{(k)}(x)= \frac{(-1)^{k}k!}{5}[\frac{1}{(x-3)^{k+1}}-\frac{1}{(x+2)^{k+1}}] \)ta chứng minh công thức đúng với bậc k+1:\(f^{(k+1)}(x)=  \frac{(-1)^{k}k!}{5} [\frac{-(k+1)}{(x-3)^{k+2}}-\frac{-(k+1)}{(x+2)^{k+2}}]= \frac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{5}[\frac{1}{(x-3)^{k+2}}-\frac{1}{(x+2)^{k+2}}] \)$\Rightarrow $ đúng với k+1

Đề bài: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số sau đây tại điểm \(x\).a) \(y=\frac{2x-1}{x+1}\)b) \(y=\sqrt{x+1}+x\) Lời giải a) \(y'(x)=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}  \frac{\frac{2(x+\Delta x)-1}{x+\Delta x +1}- \frac{2x-1}{x+1}}{\Delta x}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-3(x+1)+3(x+\Delta x+1)}{\Delta x(x-1)(x+\Delta x -1)}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x […]