Đề: Tìm đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x^{2}-x+6}\).

Đề bài: Tìm đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x^{2}-x+6}\).

Lời giải

\(f(x)=\frac{1}{5}[\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}]\)
\(f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!}{5}[\frac{1}{(x-3)^{n+1}}-\frac{1}{(x+2)^{n+1}}]\). 
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:
\(
f’=\frac{1}{5}[\frac{-1}{(x-3)^{2}}- \frac{-1}{(x+2)^{2}}]=\frac{-1}{5}[\frac{1}{(x-3)^{2}}-\frac{1}{(x+2)^{2}}]
\)
\(f”=\frac{-1}{5}[\frac{-2}{(x-3)^{3}}-\frac{-2}{(x+2)^{3}}]=\frac{2}{5}[\frac{1}{(x-3)^3}-\frac{1}{(x+2)^{3}}]\)
giả sử đúng với bậc k: \(f^{(k)}(x)=
\frac{(-1)^{k}k!}{5}[\frac{1}{(x-3)^{k+1}}-\frac{1}{(x+2)^{k+1}}] \)
ta chứng minh công thức đúng với bậc k+1:
\(
f^{(k+1)}(x)=
 \frac{(-1)^{k}k!}{5} [\frac{-(k+1)}{(x-3)^{k+2}}-\frac{-(k+1)}{(x+2)^{k+2}}]=
\frac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{5}[\frac{1}{(x-3)^{k+2}}-\frac{1}{(x+2)^{k+2}}] 
\)
$\Rightarrow $ đúng với k+1