Đề bài: Cho hàm số: $ f(x) = \sqrt{-x^2+3x-2}$Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm: $ \frac{2f^2(x)}{(3-2x)}f'(x) = \sqrt{2m+x-x^2} \,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Ta có :
$f'(x) = \frac{-2x+3}{2\sqrt{-x^2+3x-2} }$.
Khi đó, phương trình (1) có dạng :
$\frac{2(-x+3x-2)(-2x+3)}{2(3-2x)\sqrt{-x^2+3x-2} } = \sqrt{2m+x-x^2}$.
$\Leftrightarrow \sqrt{-x +3x -2} = \sqrt{2m+x-x^2} \Leftrightarrow \begin{cases}-x^2+3x-2 = 2m +x -x^2> 0 \\ x \neq \frac{3}{2}\end{cases} $
$ \Leftrightarrow \begin{cases}-x^2+3x-2 > 0 \\ x \neq \frac{3}{2} \\ x = m + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}1 Do đó , để phương trình có nghiệm, điều kiện là :
$ \begin{cases}1 Vậy, với $m \in (0;1)$\{$\frac{1}{2}$}, phương trình có nghiệm.
Trả lời