Đề:   Cho họ đồ thị $(C_m): y=(m+2)x^2-2(m-4)x-15     (1)$a) Tìm điểm cố định của họ đồ thị.b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cố định ấy.

Đề bài:   Cho họ đồ thị $(C_m): y=(m+2)x^2-2(m-4)x-15     (1)$a) Tìm điểm cố định của họ đồ thị.b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cố định ấy.

Lời giải

Giải
a) Tập xác định $R$
Viết lại $(1) \Leftrightarrow mx(x-2)+2x^2+8x-15-y=0$
Tọa độ điểm cố định là nghiệm của hệ:
  $\begin{cases}x(x-2)=0 \\ 2x^2+8x-15-y=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x(x-2)=0 \\ x(x-2)+12x-15-y=0 \end{cases}$
  $\Leftrightarrow \begin{cases}x=0  hoặc  x=2 \\ y=12x-15   (2) \end{cases} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(x = 0;y =  – 15)}\\
{(x = 2;y = 9)}
\end{array}} \right.$
Vậy tập hợp các điểm cố định của họ $(C_m)$ gồm hai điểm là $A(0;-15)$ và $B(2;9)$
b) Tọa độ hai điểm $A$ và $B$ đều là nghiệm của phương trình $(2)$ nên phương trình $(2): y=12x-15$ là nghiệm phương trình đường thẳng phải tìm.
Lời bình:
  $(x_0;y_0)$ nghiệm $y_0=f(m;x_0)  (*)$ với mọi $m$ suy ra $(x_0;y_0)$ ắt nghiệm (*) với những giá trị riêng của $m$
  Đó là cơ sở để ta trình bày lời giải bài toán theo điều kiện cần và đủ như sau:
  * Điều kiện cần: $y=(m+2)x^2-2(m-4)x-15$
    + khi $m=-2$ phương trình $(1)$ trở thành $y=12x-15$
    + khi $m=-1$, phương trình $(1)$ trở thành $y=x^2+10x-15$
Ta có hệ: $\begin{cases}y=12x-15 \\ y=x^2+10x-15 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}y=12x-15 \\ x^2-2x=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}y=12x-15 \\ x=0 \vee x=-2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(x = 0;y =  – 15)}\\
{(x = 2;y = 9)}
\end{array}} \right.$
  * Điều kiện đủ: Thay $(x=0;y=-15)$ sẽ có $(1) \Leftrightarrow 0.m=0$, đúng $\forall m$
Tương tự cặp $(x=2;y=9)$ cũng là nghiệm phương trình $(1) \forall m$
vậy $(0;-15)$ và $(2;9)$ là hai điểm cố định duy nhất của họ $(C_m)$