• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề: Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm mọi cấp trên $R$, và thỏa mãn điều kiện     $f'( {\frac{{x + y}}{2}} ) = \frac{{f(y) – f(x)}}{{y – x}},\forall x, y \in  R,x \ne y$        (1)Chứng minh:  $f(x) = f''(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + f(0),\forall x \in R$

Đăng ngày: 07/03/2020 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Tính chất của hàm số

ham so
Đề bài: Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm mọi cấp trên $R$, và thỏa mãn điều kiện     $f'( {\frac{{x + y}}{2}} ) = \frac{{f(y) – f(x)}}{{y – x}},\forall x, y \in  R,x \ne y$        (1)Chứng minh:  $f(x) = f''(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + f(0),\forall x \in R$

Lời giải

Cố định $y \ne 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} = \frac{{(x – y) + (x + y)}}{2} \in R$
Từ $(1)$ suy ra
    $f'(x) = \frac{{f(x + y) – f(x – y)}}{{2y}}$
Theo giả thiết $f(x)$ có đạo hàm mọi cấp nên ta có
    $f”(x) = \frac{1}{{2y}}{\rm{[}}f'(x + y) – f'(x – y){\rm{]}}$
               $ = \frac{1}{{2y}}\left[ {\frac{{f(x + 2y) – f(x)}}{{2y}}} \right] – \frac{{f(x – 2y) – f(x)}}{{( – 2y)}}$
                                (áp dụng $(1)$ với $x + y = \frac{{x + (x + 2y)}}{2};{\rm{ }}x – y = \frac{{x + (x – 2y)}}{2}$)
               $ = \frac{1}{{4{y^2}}}\left[ {f'(x + 2y) + f'(x – 2y) – 2f'(x)} \right]$   

Đạo hàm một lần nữa ta có:
$f”'(x) = \frac{1}{{4{y^2}}}\left[ {f'(x + 2y) + f'(x – 2y) – 2f'(x)} \right]$
            $ = \frac{1}{{4{y^2}}}\left[ {\frac{{f(x + 4y) – f(x)}}{{4y}} – \frac{{f(x – 4y) – f(x)}}{{( – 4y)}} – \frac{{f(x + 4y) – f(x – 4y)}}{{4y}}} \right] = 0$
(lại áp dụng $(1)$ với $x + 2y = \frac{{x + (x + 4y)}}{2};$
$\begin{array}{l}
{\rm{ }}x – 2y = \frac{{x + (x – 4y)}}{2};\\
x = \frac{{(x – 4y) + (x + 4y)}}{2}
\end{array}$
Từ đó suy ra $f”(x) = {c_1}$; Cho $x = 0$ ta có $f”(0) = {c_1}$.
Ta có : $f'(x) = \int\limits_0^x {f”(t)dt = } \int\limits_0^x {f”(0)dt = } f”(0)x + {c_2}$;
Cho $x = 0$ ta được $f'(0) = f”(0).0 + {c_2}$
Cuối cùng: $f(x) = \int\limits_0^x {f'(t)dt = } \int\limits_0^x {{\rm{[}}f”(0)t}  + f'(0){\rm{]}}dt{\rm{ = }}f”(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + {c_3}$;
Cho $x = 0$ ta được: $f(0) = f”(0).0 + f'(0).0 + {c_3}$

Vậy $f(x) = f”(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + f(0),{\rm{ }}       \forall {{x}} \in {\rm{R}}$

Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Tính chất của hàm số

Bài liên quan:

  1. Đề:   Cho họ đồ thị $(C_m): y=(m+2)x^2-2(m-4)x-15     (1)$a) Tìm điểm cố định của họ đồ thị.b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cố định ấy.
  2. Đề: Cho hàm số $f$ xác định bởi: $y=f(x)=\frac{x}{1+\left| {x} \right|}$Cho biết hàm số ngược $y=f^{-1}(x)$  của hàm số trên         
  3. Đề: Cho $a,b$ là các số thực cho trước. Xác định tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn mỗi một tính chất sau đây:a) $f(a-x)=f(x)$, với mọi $x\in R$b) $f(a-x)+f(x)=b$, với mọi $x\in R$
  4. Đề: Cho hàm số $=f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$ với $ x\geq 0$Cho biết hàm số ngược $y=f^{-1}(x)$ của hàm số $y=f(x)$
  5. Đề: Cho hàm số f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện${(f(x) – f(y))^2} \le |x-y|^3   \forall x,y \in R$        (1)Chứng minh rằng $f(x)$ có đạo hàm trên $R$ và $f(x) = C$, trong đó $C$ là một hằng số
  6. Đề:   Bỏ dấu trị tuyệt đối trong biểu thức của \(f(x)\)a) \(f(x)=|-3x+2|\)                                      b) $ f(x)=|2x+5||3-4x|$
  7. Đề: Cho hàm số: $f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{2x+3}{x+1}   khi   x\geq 0\\ \frac{\sqrt[3]{2+3x} }{x-2} khi  -2\leq x
  8. Đề: Cho hàm số:  $y = \frac{{{x^2}cos\alpha  – 2x + cos\alpha }}{{{x^2} – 2xcos \alpha  + 1}}$Với tham số $\alpha  \in (0; \pi)$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $x$, ta đều có $ – 1 \le y \le 1$
  9. Đề: Tìm tọa độ giao điểm của hai parabol$y = \frac{1}{2} x^2 – x$  và $   y = – 2x^2 + x + \frac{1}{2}$
  10. Đề: a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số $y=2x^2$.b) Trên đồ thị $(P)$ ta lấy hai điểm $A, B$ có hoành độ tương ứng là $1$ và $2$. Xác định các giá trị của $m$ và $n$ để đường thẳng $y=mx+n$ tiếp xúc với $(P)$ và song song $AB$.
  11. Đề: Cho các hàm số : $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}},g(x) = \frac{x}{{1 – \left| x \right|}}$$    a)$ Tìm miền xác định và miền giá trị của $f(x) $ và $g(x).$$  b)$ Tìm $g_0f$ và $f_0g.$
  12. Đề: Cho hàm số $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2} $ Chứng minh rằng nếu $a+b=1$ thì $f(a)+f(b)=1$
  13. Đề: a) Điểm $A(-2;2)$ có nằm trên đồ thị hàm số $y=-2(x+1)$ hay không ? Giải thích vì sao.b) Tìm phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng $y=2x+1, y=3x-4$ và song song với đường thẳng $y=\sqrt{2}x+15. $
  14. Đề: Xác định tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:a) $y=\tan (2x-\frac{\pi}{4} )$                         b) $y= 2\sin^2(3x+\frac{\pi}{5} )$
  15. Đề: Xét sự biến thiên của các hàm sốa) $y=\frac{x}{x-1} $;                           b) $y=-\frac{1}{x}$;                          c) $y=\frac{1}{x^2}$.

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Bài tập tự luận về hàm số




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.