Đề: Cho hàm số:  $y = \frac{{{x^2}cos\alpha  – 2x + cos\alpha }}{{{x^2} – 2xcos \alpha  + 1}}$Với tham số $\alpha  \in (0; \pi)$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $x$, ta đều có $ – 1 \le y \le 1$

Đề bài: Cho hàm số:  $y = \frac{{{x^2}cos\alpha  – 2x + cos\alpha }}{{{x^2} – 2xcos \alpha  + 1}}$Với tham số $\alpha  \in (0; \pi)$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $x$, ta đều có $ – 1 \le y \le 1$

Lời giải

Ta có:  $y = \frac{{{x^2}c{\rm{os}}\alpha  – 2x + c{\rm{os}}\alpha }}{{{{\left( {x – c{\rm{os}}\alpha } \right)}^2} + {{\sin }^2}\alpha }}$
Do $\alpha  \in (0{\rm{ ; }}\pi {\rm{)}}$ nên $\sin \alpha  > 0{\rm{ }} \Rightarrow $ hàm số luôn xác định với mọi $x$ $ \Rightarrow $ phương trình (ẩn số là $x$)
      $y({x^2} – 2x\cos \alpha  + 1) = {x^2}c{\rm{os}}\alpha  – 2x + c{\rm{os}}\alpha $
$ \Leftrightarrow (y – c{\rm{os}}\alpha ){x^2} – 3(y\cos \alpha  – 1)x + (y – c{\rm{os}}\alpha ) = 0$ có nghiệm

a) $y = c{\rm{os}}\alpha $; do $\alpha  \in (0{\rm{ ; }}\pi {\rm{)}}$nên $c{\rm{os}}\alpha \ne \pm {\rm{1 }} \Rightarrow {\rm{x}} = 0$
Từ đó ta có $\left| y \right| = \left| {c{\rm{os}}\alpha } \right|
b) $y \ne c{\rm{os}}\alpha $:
$\Delta ‘ = {(y\cos \alpha  – 1)^2} – {(y – c{\rm{os}}\alpha {\rm{)}}^2} \ge 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ (y}} – 1{)^2}({\cos ^2}\alpha  – 1) \ge 0$
Lại do $\alpha  \in (0{\rm{ ; }}\pi {\rm{)}}$ nên $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  – 1 Từ đó:  ${y^2} – 1 \le 0 \Leftrightarrow \left| y \right| \le 1$