Đề: $f(x) = \cos x + \sqrt{2-\cos ^2 x .} $  Tìm $Max  f(x) , Min  f(x).$

Đề bài: $f(x) = \cos x + \sqrt{2-\cos ^2 x .} $  Tìm $Max  f(x) , Min  f(x).$

Lời giải

Tập xác định là $R$
Đặt $\cos x =t.$ Điều kiện của $t: t \in [-1;1]   (A)$
Hàm số $f(x)$ có dạng : $F=t+\sqrt{2-t^2} $ với  $t \in (A)$
         $F’ (t) = 1 – \frac{ 1}{ \sqrt{2}-t^2 }, F'(t) =0  \Leftrightarrow  t =1$
         $\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_A F = max {F(-1) ; F(1)} =2$ khi $t=1$
         $\mathop {Min}\limits_A F=min {F(-1) ; F(1)} =0$ khi $t=-1$

Cách $2:$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: $f(x)\le\sqrt{(1^2+1^2)(\cos^2 x+2-\cos^2 x)}=2$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\cos x=\sqrt{2-\cos^2 x}\Leftrightarrow \cos x=1\Leftrightarrow x=2k\pi$
Có: $\sqrt{2-\cos^2x}\ge1; \cos x\ge -1\Rightarrow f(x)\ge 0$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+2k\pi$

Vậy  $ Max  f(x) = 2$  khi $x=2k\pi$
        $Min  f(x)=0$  khi $x=\pi+2k\pi$