Đề bài: $f(x) = \cos x + \sqrt{2-\cos ^2 x .} $ Tìm $Max f(x) , Min f(x).$
Lời giải
Tập xác định là $R$
Đặt $\cos x =t.$ Điều kiện của $t: t \in [-1;1] (A)$
Hàm số $f(x)$ có dạng : $F=t+\sqrt{2-t^2} $ với $t \in (A)$
$F’ (t) = 1 – \frac{ 1}{ \sqrt{2}-t^2 }, F'(t) =0 \Leftrightarrow t =1$
$\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_A F = max {F(-1) ; F(1)} =2$ khi $t=1$
$\mathop {Min}\limits_A F=min {F(-1) ; F(1)} =0$ khi $t=-1$
Cách $2:$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: $f(x)\le\sqrt{(1^2+1^2)(\cos^2 x+2-\cos^2 x)}=2$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\cos x=\sqrt{2-\cos^2 x}\Leftrightarrow \cos x=1\Leftrightarrow x=2k\pi$
Có: $\sqrt{2-\cos^2x}\ge1; \cos x\ge -1\Rightarrow f(x)\ge 0$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+2k\pi$
Vậy $ Max f(x) = 2$ khi $x=2k\pi$
$Min f(x)=0$ khi $x=\pi+2k\pi$