Đề bài: $f(x) = \cos x + \sqrt{2-\cos ^2 x .} $ Tìm $Max f(x) , Min f(x).$
Lời giải
Tập xác định là $R$
Đặt $\cos x =t.$ Điều kiện của $t: t \in [-1;1] (A)$
Hàm số $f(x)$ có dạng : $F=t+\sqrt{2-t^2} $ với $t \in (A)$
$F’ (t) = 1 – \frac{ 1}{ \sqrt{2}-t^2 }, F'(t) =0 \Leftrightarrow t =1$
$\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_A F = max {F(-1) ; F(1)} =2$ khi $t=1$
$\mathop {Min}\limits_A F=min {F(-1) ; F(1)} =0$ khi $t=-1$
Cách $2:$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: $f(x)\le\sqrt{(1^2+1^2)(\cos^2 x+2-\cos^2 x)}=2$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\cos x=\sqrt{2-\cos^2 x}\Leftrightarrow \cos x=1\Leftrightarrow x=2k\pi$
Có: $\sqrt{2-\cos^2x}\ge1; \cos x\ge -1\Rightarrow f(x)\ge 0$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+2k\pi$
Vậy $ Max f(x) = 2$ khi $x=2k\pi$
$Min f(x)=0$ khi $x=\pi+2k\pi$
Bài học cùng chương bài
- Đề: Chứng minh rằng nếu $0
- Đề: Cho hàm số: $y = f(x) = \frac{x^2 – 2mx + m + 2}{x – m}$$1.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến với mọi $x > 1.$$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$$3.$ Biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình: $\frac{{x^2 – 2|x| + 3}}{|x| – 1} = a$
- Đề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $y=x+\sqrt{4-x^2}$ với $-2\leq x\leq 2$.
- Đề: Chứng minh rằng nếu $n$ là một số tự nhiên chẵn, và $a$ là một số lớn hơn, thì phương trình$( {n + 1}){x^{n + 2}} – 3( {n + 2} ){x^{n + 1}} + {a^{n + 2}} = 0$ không có nghiệm
- Đề: Cho $p, q$ là các số tự nhiên lớn hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=cos^pxsin^qx (0\leq x\leq \frac{\pi}{2} )$
- Đề: Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3-3x^2+6x-6=y \\ y^3-3y^2+6y-6=z \\ z^3-3z^2+6z-6=x\end{cases} (I)$
- Đề: Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $
- Đề: Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
- Đề: Chứng minh rằng : $\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ ta có ${2^{2\sin x}} + {2^{tanx}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}}$
- Đề: Giải hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 4 < 0\\{x^3} + 3{x^2} - 9x - 10 > 0\end{array} \right.$
- Đề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $y = {5^{x – 1}} + {5^{ – x – 1}}$
- Đề: Giải hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\log _2^2x – {\log _2}x^2 < 0\\\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 5x + 9 > 0\end{array} \right.$
- Đề: Cho $y=\sqrt{\cos ^2 x -2 \cos x +5} + \sqrt{\cos ^2 x – 4 \cos x +8.} $ Tìm $max y , min y.$
- Đề: Chứng minh rằng với $\forall x>0$ luôn có $\ln (x+1)
- Đề: Cho $f(x)=x^6+4(1-x^2)^3$ với $-1\leq x\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Trả lời