Đề: Chứng minh rằng nếu $n$ là một số tự nhiên chẵn, và $a$ là một số lớn hơn, thì phương trình$( {n + 1}){x^{n + 2}} – 3( {n + 2} ){x^{n + 1}} + {a^{n + 2}} = 0$ không có nghiệm

Đề bài: Chứng minh rằng nếu $n$ là một số tự nhiên chẵn, và $a$ là một số lớn hơn, thì phương trình$( {n + 1}){x^{n + 2}} – 3( {n + 2} ){x^{n + 1}} + {a^{n + 2}} = 0$ không có nghiệm

Lời giải

Đặt $f\left( x \right) = \left( {n + 1} \right){x^{n + 2}} – 3\left( {n + 2} \right){x^{n + 1}} + {a^{n + 2}}$ ta có:
${f^’}\left( x \right) = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right){x^{n + 1}} – 3\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right){x^n} = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right){x^n}\left( {x – 3} \right)$
${f^’}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = 3$.
Lại do $n$ chẵn nên ${f^’}\left( x \right)$ chỉ đổi dấu qua $x = 3 $
$\Rightarrow {\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{in}}f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = {a^{n + 2}} – {3^{n + 2}} > 0$ ( do $a > 3$).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.