Đề bài: Cho $p, q$ là các số tự nhiên lớn hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=cos^pxsin^qx (0\leq x\leq \frac{\pi}{2} )$
Lời giải
Ta có:
${y^2} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2p}}x{\sin ^{2q}}x = {(1 – {\sin ^2}x)^p}{\sin ^{2q}}x$
Đặt $t = {\sin ^2}x,{\rm{ t}} \in \left[ {0{\rm{ ; 1}}} \right]$ ta được
${y^2} = f(t) = {t^q}{(1 – t)^p},{\rm{ t}} \in \left[ {0{\rm{ ; 1}}} \right]$
Ta có $f'(t) = {t^{q – 1}}{(1 – t)^{p – 1}}\left[ {q – (p + q)t} \right]$.
$f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0,{\rm{ t}} = \frac{q}{{p + q}},t = 1$.
Bảng biến thiên của $f(t)$ là:
Suy ra $\max f(t) = f\left( {\frac{q}{{p + q}}} \right) = \frac{{{p^p}{q^q}}}{{{{(p + q)}^{p + q}}}} = \max {y^2}$
Do $y \ge 0$ suy ra
$\max y = \sqrt {\frac{{{p^p}{q^q}}}{{{{(p + q)}^{p + q}}}}} $
Đạt được khi: ${\sin ^2}x = t = \frac{q}{{p + q}}$