Chứng minh rằng hàm số \(y = {x^4} – 6{x^2} + 4x + 6\) luôn luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Xét hàm số \(y = {x^4} – 6{x^2} + 4x + 6\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y’ = 4{x^3} – 12x + 4\)\( = 4\left( {{x^3} – 3x + 1} \right)\) ; \(y’ = 0\)\( \Leftrightarrow {x^3} – 3x + 1 = 0\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} – 3x + 1\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(g’\left( x \right) = 3{x^2} – 3\), \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  – 1\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu của \(g\left( x \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt  \( \Leftrightarrow y’ = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt. Do đó hàm số luôn luôn có \(3\) cực trị.

Ta có \(y = \frac{1}{4}xy’ – 3\left( {{x^2} – x – 2} \right)\) .

– Giả sử hàm số đạt cực trị tại \({x_o}\), ta có \(y\left( {{x_o}} \right) = \frac{1}{4}{x_o}y’\left( {{x_o}} \right) – 3\left( {x_o^2 – {x_o} – 2} \right)\)\( =  – 3\left( {x_o^2 – {x_o} – 2} \right)\).

– Gọi \(3\) điểm cực trị là \(A\left( {{x_1};\, – 3\left( {x_1^2 – {x_1} – 2} \right)} \right)\),\(B\left( {{x_2};\, – 3\left( {x_2^2 – {x_2} – 2} \right)} \right)\), \(C\left( {{x_3};\, – 3\left( {x_3^2 – {x_3} – 2} \right)} \right)\)  với \({x_1};\,{x_2};\,{x_3}\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\).

Theo định lý viet, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = 0\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} =  – 3\end{array} \right.\)

Gọi \(G\left( {{x_G};\,{y_G}} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

+ \({x_G} = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3} = 0\).

+ \({y_G} = \frac{{ – 3x_1^2 + 3{x_1} + 6 – 3x_2^2 + 3{x_2} + 6 – 3x_3^2 + 3{x_3} + 6}}{3}\)\( = \frac{{ – 3\left( {x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} \right) + 3\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) + 18}}{3}\)

\( =  – \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)}^2} – 2\left( {{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1}} \right)} \right] + \left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) + 6\)\( =  – \left[ {{0^2} – 2\left( { – 3} \right)} \right] + 6 = 0\).

 \( \Rightarrow \) \(G\left( {0;\,0} \right) \equiv O\left( {0;\,0} \right)\) .

                 Vậy gốc toạ độ \(O\) là trọng tâm của  tam giác tạo bởi \(3\) đỉnh là \(3\) điểm cực trị của đồ thị hàm số.