Đề: Cho hàm số  $y = \frac{2x – 3}{x – 2}$ .Cho $M$ là điểm bất kì trên $(C)$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt các đường tiệm cận của $(C)$ tại $A$ và  $B$. Gọi $I$  là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm $M$ sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $IAB$ có diện tích nhỏ nhất.

Đề bài: Cho hàm số  $y = \frac{2x – 3}{x – 2}$ .Cho $M$ là điểm bất kì trên $(C)$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt các đường tiệm cận của $(C)$ tại $A$ và  $B$. Gọi $I$  là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm $M$ sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $IAB$ có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải

Ta có:  $ M\left( {{x_0};\frac{{2{x_0} – 3}}{{{x_0} – 2}}} \right),\quad {x_0} \ne 2 $ ,  $ y'({x_0}) = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {{x_0} – 2} \right)}^2}}} $
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:  $ \Delta :y = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {{x_0} – 2} \right)}^2}}}(x – {x_0}) + \frac{{2{x_0} – 3}}{{{x_0} – 2}} $
Toạ độ giao điểm A, B của  $ \left( \Delta  \right) $  và hai tiệm cận là:  $ A\left( {2;\frac{{2{x_0} – 2}}{{{x_0} – 2}}} \right);\quad B\left( {2{x_0} – 2;2} \right) $
Ta thấy  $ \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{2 + 2{x_0} – 2}}{2} = {x_0} = {x_M} $ ,  $ \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2{x_0} – 3}}{{{x_0} – 2}} = {y_M} $   suy ra M là trung điểm của AB.
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
S =  $ \pi I{M^2} = \pi \left[ {{{({x_0} – 2)}^2} + {{\left( {\frac{{2{x_0} – 3}}{{{x_0} – 2}} – 2} \right)}^2}} \right] = \pi \left[ {{{({x_0} – 2)}^2} + \frac{1}{{{{({x_0} – 2)}^2}}}} \right] \ge 2\pi  $
Dấu “=” xảy ra khi  $ {({x_0} – 2)^2} = \frac{1}{{{{({x_0} – 2)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
{x_0} = 3
\end{array} \right. $
Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)