Đề: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}\)$1$. Khảo sát hàm số đã cho$2$. Xác định điểm \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách từ $A$ đến giao điểm của hai tiệm cận là nhỏ nhất.

Đề bài: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}\)$1$. Khảo sát hàm số đã cho$2$. Xác định điểm \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách từ $A$ đến giao điểm của hai tiệm cận là nhỏ nhất.

Lời giải

$1$. Bạn đọc tự giải

$2$. Giao điểm hai tiệm cận là $E (1, 1)$. Xét điểm \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) với \({x_1} > 1\)
$A$ thuộc đồ thị  \(\Rightarrow  {y_1} = \frac{{x_1^2 – {x_1} + 1}}{{{x_1} – 1}} = {x_1} + \frac{1}{{{x_1} – 1}}\)
    \(E{A^2} = {\left( {{x_1} – 1} \right)^2} + {\left( {{y_1} – 1} \right)^2} = {\left( {{x_1} – 1} \right)^2} + {\left( {{x_1} – 1 + \frac{1}{{{x_1} – 1}}} \right)^2}\)
\( = 2{\left( {{x_1} – 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2}}} + 2 \ge 2\sqrt 2  + 2\)
\(E{A^2} = 2\sqrt 2  + 2 \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} – 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {x_1} = 1 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}\)
Vậy điểm cần tìm là điểm thuộc đồ thị với hoành độ \(x = 1 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}\)