Đề bài: Cho hàm số $ y = \frac{ – x + 1}{2x + 1} (C)$. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $ M \in (C) $ , biết tiếp tuyến cắt $2$ trục tọa độ tạo thành $1$ tam giác cân.
Lời giải
Tập xác định: $ D = R\backslash \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\} $ . Ta có: $ y’ = \frac{{ – 3}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân, dễ thấy tam giác đó vuông nên hệ số góc của tiếp tuyến là $ k = \pm 1 $ .
Gọi $ M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) $ là tiếp điểm
– Nếu $ k = – 1 \Rightarrow \frac{{ – 3}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}} = – 1 \Rightarrow 2{x_0} + 1 = \pm \sqrt 3 \Rightarrow {x_0} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 3 }}{2} $
Với $ {x_0} = \frac{{ – 1 – \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{{ – 1 – \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow $ tiếp tuyến là: $ y = – x – 1 – \sqrt 3 $
Với $ {x_0} = \frac{{ – 1 + \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{{ – 1 + \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow $ tiếp tuyến là: $ y = – x – 1 + \sqrt 3 $
– Nếu $ k = 1 \Rightarrow \frac{{ – 3}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 1 \Rightarrow {\left( {2{x_0} + 1} \right)^2} = – 3 $ : Vô nghiệm
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: $ y = – x – 1 – \sqrt 3 $ và $ y = – x – 1 + \sqrt 3 $
Trả lời