Đề: Cho hàm số: $y = f(x) = \frac{x^2 – 2mx + m + 2}{x – m}$$1.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến với mọi $x > 1.$ $2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$ $3.$ Biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình: $\frac{{x^2 – 2|x| + 3}}{|x| – 1} = a$

Đề bài:
Cho hàm số: $y = f(x) = \frac{x^2 – 2mx + m + 2}{x – m}$
$1.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến với mọi $x > 1.$
$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$
$3.$ Biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình: $\frac{{x^2 – 2|x| + 3}}{|x| – 1} = a$

Lời giải

$1.$ $y^/=\frac{x^2-2mx+2m^2-m-2}{(x-m)^2} $ Hàm số đồng biến $\forall x>1$
$\Leftrightarrow y^/\geq 0,\forall x>1\Leftrightarrow \begin{cases}\varphi(x)=x^2-2mx+2m^2-m-2\geq 0,\forall x>1 \\ x\neq m,\forall x>1 \Leftrightarrow m\leq 1 (a)\end{cases} $
$\varphi(x)\geq 0,\forall x>1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ‘=m^2-(2m^2-m-2)=-m^2+m+2\leq 0\\\begin{cases}\Delta ‘=-m^2+m+2>0 \\\varphi (1)=2m^2-3m-1\geq 0 \\\frac{x_1+x_2}{2}=m<1 \end{cases} \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow m\leq \frac{3-\sqrt{17} }{4};m\geq 2 (b) $
Từ $(a)$ và $(b)\Rightarrow $ ĐS : $m\leq \frac{3-\sqrt{17} }{4}$
$2.$ Xin dành cho bạn đọc.
$3.$ Chú ý rằng $x_0$ là $1$ nghiệm của phương trình $\Leftrightarrow -x_0$ cũng là nghiệm, do đó chỉ cần xét số nghiệm $\geq 0$ của phương trình ra có thể suy ra ngay số nghiệm của phương trình.Với $x\geq 0$ thì phương trình trở thành $\frac{x^2-2x+3}{x-1} =a$, do đó số nghiệm $\geq 0$ của phương trình đã cho đúng bằng số giao điểm của đường thẳng $y=a$ với phần bên phải trục tung của đồ thị.Từ đó ta có:
– Nếu $\left[ \begin{array}{l}a<-3\\a=2\sqrt{2} \end{array} \right. $ thì phương trình có $2$ nghiệm phân biệt.
– Nếu $a=-3$ thì phương trình có nghiệm duy nhất
– Nếu $-3 < a < 2\sqrt{2} $ thì phương trình vô nghiệm
– Nếu $a > 2\sqrt{2} $ thì phương trình có $4$ nghiệm phân biệt.