Đề: Chứng minh rằng với $\forall x>0$ luôn có $\ln (x+1)

Đề bài: Chứng minh rằng với $\forall x>0$ luôn có $\ln (x+1)

Lời giải

Chúng ta viết lại bất đẳng thức để làm xuất hiện hàm $F$ :
    $
\displaystyle \ln (x+1)-00$ nên phép chia không làm đổi dấu)
Xét hàm số $F(t)=\ln t$ khả vi và liên tục trên $[1,x+1]$ với $x>0$ theo định lí Lagrange luôn tồn tại $c\in(1,x+1)$ sao cho:
   $
\displaystyle F^'(c)=\frac{F(x+1)-F(1)}{(x+1)-1}\Leftrightarrow \frac{1}{c}=\frac{\ln( x+1)}{x}\Leftrightarrow \ln (x+1)=\frac{x}{c}$
Ta có:   $
\displaystyle 1