📌 Đề bài (Câu 7 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x – 1)^2 (x + 2)^3$. Số điểm cực trị của hàm số là:
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm $f'(x) = 0$
Ta có: $$f'(x) = x(x – 1)^2 (x + 2)^3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x = 0 \\ & (x – 1)^2 = 0 \\ & (x + 2)^3 = 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x = 0 \\ & x = 1 \\ & x = -2 \end{aligned}\right.$$
Bước 2: Phân tích tính chất nghiệm bội chẵn và nghiệm bội lẻ
- $x = 0$ là nghiệm đơn (bội bậc 1 – bội lẻ) $\Rightarrow f'(x)$ đổi dấu khi đi qua $x = 0$.
- $x = 1$ là nghiệm bội bậc 2 (bội chẵn) vì có nhân tử $(x – 1)^2 \ge 0,\ \forall x$ $\Rightarrow f'(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x = 1$.
- $x = -2$ là nghiệm bội bậc 3 (bội lẻ) vì có nhân tử $(x + 2)^3$ $\Rightarrow f'(x)$ đổi dấu khi đi qua $x = -2$.
Bước 3: Bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$
Để trực quan hơn, ta có bảng xét dấu như sau:
| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $0$ | $1$ | +$+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $+$ |
Kết luận: Đạo hàm $f'(x)$ chỉ đổi dấu qua $2$ điểm là $x = -2$ và $x = 0$. Do đó, hàm số đã cho có đúng 2 điểm cực trị.
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Điểm $x_0$ là điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$ khi và chỉ khi đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu khi đi qua điểm $x_0$. Bạn có thể xem thêm dạng toán cơ bản xác định số điểm cực trị của hàm số để nắm vững kiến thức.
- Quy tắc đếm nhanh số điểm cực trị khi biết công thức $f'(x)$ dạng tích:
- Nghiệm bội lẻ (mũ $1, 3, 5, \dots$): $f'(x)$ đổi dấu khi đi qua nghiệm đó $\Rightarrow$ là điểm cực trị.
- Nghiệm bội chẵn (mũ $2, 4, 6, \dots$): $f'(x)$ không đổi dấu khi đi qua nghiệm đó $\Rightarrow$ không phải là điểm cực trị (có thể tham khảo trường hợp đặc biệt tại bài viết về hàm số không có cực trị).
- Công thức tính nhanh: Số điểm cực trị của hàm số chính bằng tổng số nghiệm bội lẻ phân biệt của phương trình $f'(x) = 0$. Tương tự, dạng bài xác định cực trị dựa vào đồ thị đạo hàm f'(x) cũng chỉ xét các điểm cắt xuyên qua trục hoành (nghiệm bội lẻ).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x – 1)^3 (x + 2)^4 (x – 3)$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Phương trình $f'(x) = 0$ có các nghiệm: $x = 1$ (bội 3 – lẻ), $x = -2$ (bội 4 – chẵn), $x = 3$ (bội 1 – lẻ).
Do đó $f'(x)$ chỉ đổi dấu qua hai nghiệm bội lẻ $x = 1$ và $x = 3$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.
Đáp án đúng: B
Bài tập 2: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = x^2 (x + 1)(x – 2)^2 (x – 4)^3$. Số điểm cực trị của hàm số là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Nghiệm bội chẵn: $x = 0$ (bội 2), $x = 2$ (bội 2) $\Rightarrow$ không làm $f'(x)$ đổi dấu.
Nghiệm bội lẻ: $x = -1$ (bội 1), $x = 4$ (bội 3) $\Rightarrow f'(x)$ đổi dấu khi qua các điểm này.
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.
Đáp án đúng: B
Bài tập 3: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x – 2)^2 (x^2 – 1)(x + 3)$. Số điểm cực trị của hàm số là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta phân tích: $f'(x) = (x – 2)^2 (x – 1)(x + 1)(x + 3)$.
Phương trình $f'(x) = 0$ có $x = 2$ là nghiệm bội chẵn (bội 2), và 3 nghiệm đơn phân biệt là $x = 1, x = -1, x = -3$.
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Đáp án đúng: C
Bài tập 4: Cho hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = x(x – 3)^2 (x^2 – 4)^2$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta biến đổi: $f'(x) = x(x – 3)^2 (x – 2)^2 (x + 2)^2$.
Trong đó, các nghiệm $x = 3, x = 2, x = -2$ đều là nghiệm bội 2 (bội chẵn). Chỉ có duy nhất $x = 0$ là nghiệm đơn (bội lẻ 1).
Do đó, hàm số chỉ có đúng 1 điểm cực trị.
Đáp án đúng: A
Bài tập 5: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x^3 (x + 1)^2 (x – 2)(x + 3)^5$. Số điểm cực đại của hàm số $y = f(x)$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Các nghiệm bội lẻ của $f'(x) = 0$ là $x = -3, x = 0, x = 2$. Điểm $x = -1$ là nghiệm bội chẵn nên $f'(x)$ không đổi dấu qua nó.
Xét dấu $f'(x)$ trên các khoảng:
• $x \in (2; +\infty): f'(x) > 0$
• $x \in (0; 2): f'(x) < 0$
• $x \in (-3; 0) \setminus \{-1\}: f'(x) > 0$
• $x \in (-\infty; -3): f'(x) < 0$
$f'(x)$ đổi dấu từ dương $(+)$ sang âm $(-)$ duy nhất tại điểm $x = 0$, vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại.
Đáp án đúng: A
Để lại phản hồi