Sách Toán - Học Toán - Đề Thi Toán

Học toán, Đề thi toán, Sách giáo khoa Toán, trắc nghiệm Toán online

Cho hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Tính đơn điệu của hàm số - -

📌 Đề bài (Câu 2 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):

Cho hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$
B. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$
C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
D. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0: $x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Bước 2: Tính đạo hàm $y’$

Áp dụng công thức đạo hàm nhanh cho hàm số phân thức bậc nhất $y = \frac{ax + b}{cx + d} \Rightarrow y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$:

$$y’ = \frac{2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2 + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$$

Bước 3: Xét dấu của đạo hàm và kết luận tính đơn điệu

Vì $3 > 0$ và $(x + 1)^2 > 0$ với mọi $x \neq -1$, nên ta có: $$y’ = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0, \quad \forall x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$$

Do đó, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.

Lưu ý quan trọng: Tính đơn điệu của hàm số chỉ được định nghĩa trên từng khoảng hoặc đoạn, tuyệt đối không dùng ký hiệu tập hợp như $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ hay dấu hợp $\cup$ để kết luận khoảng đồng biến/nghịch biến (loại đáp án B).

👉 Chọn đáp án: A

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ

1. Công thức tính đạo hàm nhanh hàm bậc nhất trên bậc nhất: Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \neq 0, ad – bc \neq 0$). Đạo hàm là: $$y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$$

  • Nếu $ad – bc > 0 \Rightarrow y’ > 0, \forall x \neq -\frac{d}{c} \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; -\frac{d}{c})$ và $(-\frac{d}{c}; +\infty)$.
  • Nếu $ad – bc < 0 \Rightarrow y' < 0, \forall x \neq -\frac{d}{c} \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; -\frac{d}{c})$ và $(-\frac{d}{c}; +\infty)$.

2. Nguyên tắc kết luận tính đơn điệu: Chỉ kết luận đồng biến/nghịch biến trên từng khoảng, các khoảng hoặc dùng từ liên kết “và”; không dùng các kí hiệu $\mathbb{R} \setminus \{x_0\}$, $\cup$ hay dấu phẩy “,” khi viết tập hợp đơn điệu.

3. Bạn có thể luyện tập thêm dạng bài cơ bản với hàm đa thức tại bài viết Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? hoặc xem cách xét dấu đạo hàm thông qua bài viết hàm số nghịch biến trên khoảng nào.

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)

Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x – 3}{x + 2}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$
C. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
D. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$. Đạo hàm: $y’ = \frac{1 \cdot 2 – (-3) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2} > 0, \forall x \neq -2$. Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$.
👉 Chọn B.

Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{3 – x}{x + 1}$. Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
C. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$
D. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Viết lại hàm số: $y = \frac{-x + 3}{x + 1}$. Đạo hàm: $y’ = \frac{-1 \cdot 1 – 3 \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{-4}{(x + 1)^2} < 0, \forall x \neq -1$. Do đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
👉 Chọn A.

Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{2x + 5}{1 – x}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$
B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
C. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
D. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Viết lại hàm số: $y = \frac{2x + 5}{-x + 1}$. Đạo hàm: $y’ = \frac{2 \cdot 1 – 5 \cdot (-1)}{(1 – x)^2} = \frac{7}{(1 – x)^2} > 0, \forall x \neq 1$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
👉 Chọn A.

Bài tập 4: Hàm số $y = \frac{x + 1}{2x – 4}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-\infty; 2)$
B. $(-\infty; +\infty)$
C. $(-\infty; -1)$
D. $(2; 4)$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Ta có: $y’ = \frac{1 \cdot (-4) – 1 \cdot 2}{(2x – 4)^2} = \frac{-6}{(2x – 4)^2} < 0, \forall x \neq 2$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 2)$.
👉 Chọn A.

Bài tập 5: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số $y = \frac{-2x + 1}{x – 3}$.

A. $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$
B. Không có khoảng đồng biến
C. $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$
D. $\mathbb{R} \setminus \{3\}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Đạo hàm: $y’ = \frac{(-2) \cdot (-3) – 1 \cdot 1}{(x – 3)^2} = \frac{5}{(x – 3)^2} > 0, \forall x \neq 3$. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$.
👉 Chọn A.

Reader Interactions

Để lại phản hồi