Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = – 1 + 3t}\end{array}} \right.\) và \(d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 2 + 3t’}\\{y = 2 – 2t’}\\{z = – 2 + t’}\end{array}} \right.\). Viết phương trình phân giác của góc nhọn tạo bởi \(d\) và \(d’\).

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = – 1 + 3t}\end{array}} \right.\) và \(d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 2 + 3t’}\\{y = 2 – 2t’}\\{z = – 2 + t’}\end{array}} \right.\). Viết phương trình phân giác của góc nhọn tạo bởi \(d\) và \(d’\).

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 2 + 5{t_1}}\\{y = 2 – {t_1}}\\{z = – 2 + 4{t_1}}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 5{t_1}}\\{y = – {t_1}}\\{z = – 1 + 4{t_1}}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + {t_2}}\\{y = – 3{t_2}}\\{z = – 1 – 2{t_2}}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 2 + {t_2}}\\{y = 2 – 3{t_2}}\\{z = – 2 – 2{t_2}}\end{array}} \right.\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giao điểm của \(d\) và \(d’\) là điểm \(A\left( {1;0; – 1} \right)\).
\(d\) và \(d’\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec u’ = \left( {3; – 2;1} \right)\).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và \(d’\). Khi đó, vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\vec n = \frac{1}{7}\left[ {\vec u,\vec u’} \right] = \left( {1;1; – 1} \right)\).
Gọi \(\vec u = \left( {a;b;c} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.
Khi đó, \(\vec u \bot \vec n \Leftrightarrow a + b – c = 0 \Leftrightarrow c = a + b\).
Suy ra: \(\cos \left( {d,\Delta } \right) = \cos \left( {d’,\Delta } \right) \Leftrightarrow \left| {2a + b + 3c} \right| = \left| {3a – 2b + c} \right| \Leftrightarrow \left| {5a + 4b} \right| = \left| {4a – b} \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = – 5b}\\{b = – 3a}\end{array}} \right.\).
+) \(a = – 5b:\) Chọn \(a = 5 \Rightarrow b = – 1;c = 4\), ta có đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 5{t_1}}\\{y = – {t_1}}\\{z = – 1 + 4{t_1}}\end{array}} \right.\).
+) \(b = – 3a:\) Chọn \(a = 1 \Rightarrow b = – 3;c = – 2\), ta có đường thẳng \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + {t_2}}\\{y = – 3{t_2}}\\{z = – 1 – 2{t_2}}\end{array}} \right.\).
Xét \({\Delta _1}\) và \(d\): \(\cos \left( {{\Delta _1},d} \right) = \frac{{\left| {10 – 1 + 12} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt {42} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},d} \right) = 30^\circ < 45^\circ \). Do đó \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 5{t_1}}\\{y = - {t_1}}\\{z = - 1 + 4{t_1}}\end{array}} \right.\) là đường thẳng cần tìm.