Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\), \(B\left( {3; – 1;1} \right)\) và \(C\left( { – 1; – 1;1} \right)\). Gọi \(\left( {{S_1}} \right)\) là mặt cầu có tâm \(A\), bán kính bằng 2; \(\left( {{S_2}} \right)\) và \(\left( {{S_3}} \right)\) là hai mặt cầu có tâm lần lượt là \(B,\,\,C\) và bán kính đều bằng \(1\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\), \(\left( {{S_2}} \right)\), \(\left( {{S_3}} \right)\)?

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\), \(B\left( {3; – 1;1} \right)\) và \(C\left( { – 1; – 1;1} \right)\). Gọi \(\left( {{S_1}} \right)\) là mặt cầu có tâm \(A\), bán kính bằng 2; \(\left( {{S_2}} \right)\) và \(\left( {{S_3}} \right)\) là hai mặt cầu có tâm lần lượt là \(B,\,\,C\) và bán kính đều bằng \(1\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\), \(\left( {{S_2}} \right)\), \(\left( {{S_3}} \right)\)?
A.\(5\).
B. \(7\).
C. \(6\).
D. \(8\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là: \(ax + by + cz + d = 0\) ( đk: \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\)).
Khi đó ta có hệ điều kiện sau: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 2\\d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 1\\d\left( {C;\left( P \right)} \right) = 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {a + 2b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 2\\\frac{{\left| {3a – b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 1\\\frac{{\left| { – a – b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + 2b + c + d} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \,\,\left( 1 \right)\\\left| {3a – b + c + d} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\left| { – a – b + c + d} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( * \right)\).
Từ \(\left( 2 \right)\)và \(\left( 3 \right)\) ta có: \(\left| {3a – b + c + d} \right| = \left| { – a – b + c + d} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a – b + c + d = – a – b + c + d\\3a – b + c + d = a + b – c – d\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a – b + c + d = 0\end{array} \right.\).
Với \(a = 0\) thì ta có:
\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {2b + c + d} \right| = 2\sqrt {{b^2} + {c^2}} \\\left| {2b + c + d} \right| = 2\left| { – b + c + d} \right|\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {2b + c + d} \right| = 2\sqrt {{b^2} + {c^2}} \\\left[ \begin{array}{l}4b – c – d = 0\\c + d = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c + d = 0 \Rightarrow c = d = 0,b \ne 0\\c + d = 4b,\,\,\,\,c = \pm 2\sqrt 2 b\end{array} \right.\), do đó có 3 mặt phẳng.
Với \(a – b + c + d = 0\) thì ta có
\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3b} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\\left| {2a} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3b} \right| = 4\left| a \right|\\\left| {2a} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| b \right| = \frac{4}{3}\left| a \right|\\\left| c \right| = \frac{{\sqrt {11} }}{3}\left| a \right|\end{array} \right.\),
do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)