Trong không gian \(\left( {Oxyz} \right)\), cho hai điểm \(A\left( {0;8;2} \right)\), \(B\left( {9; – 7;23} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 72\). Mặt phẳng \(\left( P \right):x + by + cz + d = 0\) đi qua điểm \(A\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lớn nhất. Giá trị của \(b + c + d\) khi đó là

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian \(\left( {Oxyz} \right)\), cho hai điểm \(A\left( {0;8;2} \right)\), \(B\left( {9; – 7;23} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 72\). Mặt phẳng \(\left( P \right):x + by + cz + d = 0\) đi qua điểm \(A\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lớn nhất. Giá trị của \(b + c + d\) khi đó là
A.\(b + c + d = 2\).
B. \(b + c + d = 4\).
C. \(b + c + d = 3\).
D. \(b + c + d = 1\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Vì \(A \in \left( P \right)\) nên ta \(8b + 2c + d = 0\)\( \Leftrightarrow d = – 8b – 2c\)\( \Rightarrow \left( P \right):x + by + cz – \left( {8b + 2c} \right) = 0\).
Do \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {5 – 11b + 5c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} }} = 6\sqrt 2 \).
Ta có: \(d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {9 – 7b + 23c – 8b – 2c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {\left( {5 – 11b + 5c} \right) + 4\left( {1 – b + 4c} \right)} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} }}\)
\( \Rightarrow d\left( {B;\left( P \right)} \right) \le \frac{{\left| {5 – 11b + 5c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} }} + 4\frac{{\left| {1 – b + 4c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} }}\)\( \Leftrightarrow d\left( {B;\left( P \right)} \right) \le 6\sqrt 2 + 4\frac{{\left| {1 – b + 4c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} }}\)
\(\mathop \Leftrightarrow \limits^{Cosi – Svac} d\left( {B;\left( P \right)} \right) \le 6\sqrt 2 + 4\frac{{\sqrt {\left( {1 + 1 + 16} \right)\left( {1 + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} }}\)\( \Leftrightarrow d\left( {B;\left( P \right)} \right) \le 18\sqrt 2 \).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 = – b = \frac{c}{4}\\\frac{{\left| {5 – 11b + 5c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} }} = 6\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = – 1\\c = 4\\d = 0\end{array} \right.\).
Vậy \({P_{\max }} = 18\sqrt 2 \) khi \(b + c + d = 3\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)