• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Học toán Bài 5 Phương trình mũ

Đăng ngày: 08/10/2019 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Học toán giải tích 12 chương 2, Phuong trinh mu

Mục lục:

  1. Phương trình mũ cơ bản
  2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
    1. Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số.
    2. Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ.
    3. Dạng 3: Phương pháp logarit hóa.
    4. Dạng 4: Phương trình đưa về phương trình tích.
    5. Dạng 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.
  3. Bài tập minh họa
    1. Giải phương trình mũ
      1. Ví dụ 1:
      2. Lời giải:
      3. Ví dụ 2:
      4. Lời giải:
      5. Ví dụ 3:
      6. Lời giải:
      7. Ví dụ 4:
      8. Lời giải:
      9. Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ
adsense

Phương trình mũ cơ bản

Phương trình \({a^x} = m\left( {0 < a \ne 1} \right)\) được gọi là phương trình mũ.

– Với \(m > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}m\).

– Với \(m \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Một số phương pháp giải phương trình mũ

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số.

Phương pháp:

– Bước 1: Biến đổi các lũy thừa về cùng cơ số.

– Bước 2: Sử dụng kết quả \({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

– Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ở trên và kết luận.

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm một lũy thừa chung, đặt làm ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.

– Bước 2: Giải phương trình chứa ẩn phụ, kiểm tra điều kiện.

– Bước 3: Thay ẩn phụ và giải phương trình đối với ẩn ban đầu.

– Bước 4: Kết luận nghiệm.

– Phương trình dạng: \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} + p.{a^{2g\left( x \right)}} = 0\)

Chia hai vế cho \({a^{2g\left( x \right)}}\) và đặt \(t = {a^{f\left( x \right) – g\left( x \right)}}\) .

– Phương trình dạng: \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {ab} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0\)

Chia hai vế cho \({a^{2f\left( x \right)}}\) và đặt \(t = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}}\).

Dạng 3: Phương pháp logarit hóa.

Phương trình có dạng \({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}}\left( {0 < a,b \ne 1;\left( {a,b} \right) = 1} \right)\).

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

– Bước 2: Lấy logarit cơ số \(a\) (hoặc \(b\)) hai vế:

\({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}\left[ {{a^{f\left( x \right)}}} \right] = {\log _a}\left[ {{b^{g\left( x \right)}}} \right] \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right){\log _a}b\)

– Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(x\).

– Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Dạng 4: Phương trình đưa về phương trình tích.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)

– Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

– Bước 3: Giải các phương trình \(A = 0,B = 0\) tìm nghiệm.

– Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

Dạng 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

– Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu.

– Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.

– Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài tập minh họa

Giải phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):

a)  \({2^{{x^2} + 3x – 2}} = \frac{1}{4}\)

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)

Lời giải:

a) \({2^{{x^2} + 3x – 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x – 2}} = {2^{ – 2}}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 3x – 2 = – 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.

adsense

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ – \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}\)

 

\(\Leftrightarrow x – 1 – \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = – 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\).

Ví dụ 2:

Giải phương trình  \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\) (Dùng phương pháp lôgarit hóa)

Lời giải:

Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:

\({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\)

\(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – {\log _2}3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = – {\log _2}3\).

Ví dụ 3:

Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)

a)  \({3.25^x} – {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\)

b)  \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 – {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} – 1\)

Lời giải:

a) Phương trình \(\Leftrightarrow {3.25^x} – {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)\)

Khi đó phương trình trở thành: \(3{t^2} – 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\)

(*) Với \(t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

(*) Với \(t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}\).

b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 – {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0\)

Nhận xét: \(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 – {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 – {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}\)

Khi đó phương trình tương đướng với:

\(u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u – 1)(v – 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 – {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 – {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = – 1 \end{array} \right.\).

Ví dụ 4:

a) \(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3\)

b) \({2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} = {(x – 1)^2}\)

Lời giải:

a) Điều kiện: \(x>0\)

\(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 \Leftrightarrow {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 – x\) (*)

Nhận xét:

+ Vế phải của phương trình là một hàm số nghịch biến.

+ Vế trái của phương trình là một hàm số đồng biến.

Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.

Dễ thấy: \(x=1\) là nghiệm của phương trình (*).

Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) Ta có: \({(x – 1)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} – x \ge x – 1\)

Suy ra: \({2^{{x^2} – x}} \ge {2^{x – 1}} \Leftrightarrow {2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} \le 0\) (Do hàm số \(y=2^t\) đồng biến)

Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} VT \le 0\\ VP \ge 0 \end{array} \right.\)

Mà: \(VT=VP\)

Suy ra: \(VT=VP=0\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(x – 1)^2} = 0\\ {2^{x – 1}} = {2^{{x^2} – x}} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1.\)

====

TRẮC NGHIỆM

Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ

=====

Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Học toán giải tích 12 chương 2, Phuong trinh mu

Bài liên quan:

  1. Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn \(1 \le x \le 2022\) và \(x + {x^2} – {25^y} = {5^y}\).
  2. Đề Kiểm Tra 1 tiết môn toán – chương 2 giải tích 12
  3. Học toán ôn tập chương 2 giải tích 12
  4. Học toán Bài 6 Bất phương trình Logarit
  5. Học toán Bài 6 Bất phương trình mũ
  6. Học toán Bài 5 phương trình lôgarit
  7. Học toán Bài 4 Hàm số mũ Hàm số lôgarit
  8. Học toán Bài 3 Lôgarit
  9. Học toán Bài 2: Hàm số lũy thừa
  10. Học toán bài 1 Lũy thừa
  11. Giải bài tập Bài 5 Phương trình mũ và phương trình lôgarit – SGK Giải tích 12 cơ bản
  12. Giải SBT Giải tích 12 – Bài 5. Phương trình mũ và phương trình logarit

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 12
  • Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
  • Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Chương 4: Số Phức
  • Chương 1: Khối Đa Diện
  • Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
  • Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.