Phương trình mũ cơ bản
Phương trình \({a^x} = m\left( {0 < a \ne 1} \right)\) được gọi là phương trình mũ.
– Với \(m > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}m\).
– Với \(m \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Một số phương pháp giải phương trình mũ
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số.
Phương pháp:
– Bước 1: Biến đổi các lũy thừa về cùng cơ số.
– Bước 2: Sử dụng kết quả \({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {0 < a \ne 1} \right)\)
– Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ở trên và kết luận.
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm một lũy thừa chung, đặt làm ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.
– Bước 2: Giải phương trình chứa ẩn phụ, kiểm tra điều kiện.
– Bước 3: Thay ẩn phụ và giải phương trình đối với ẩn ban đầu.
– Bước 4: Kết luận nghiệm.
– Phương trình dạng: \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} + p.{a^{2g\left( x \right)}} = 0\)
Chia hai vế cho \({a^{2g\left( x \right)}}\) và đặt \(t = {a^{f\left( x \right) – g\left( x \right)}}\) .
– Phương trình dạng: \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {ab} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0\)
Chia hai vế cho \({a^{2f\left( x \right)}}\) và đặt \(t = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}}\).
Dạng 3: Phương pháp logarit hóa.
Phương trình có dạng \({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}}\left( {0 < a,b \ne 1;\left( {a,b} \right) = 1} \right)\).
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
– Bước 2: Lấy logarit cơ số \(a\) (hoặc \(b\)) hai vế:
\({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}\left[ {{a^{f\left( x \right)}}} \right] = {\log _a}\left[ {{b^{g\left( x \right)}}} \right] \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right){\log _a}b\)
– Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(x\).
– Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Dạng 4: Phương trình đưa về phương trình tích.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)
– Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
– Bước 3: Giải các phương trình \(A = 0,B = 0\) tìm nghiệm.
– Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
Dạng 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
– Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:
Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu.
– Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.
– Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài tập minh họa
Giải phương trình mũ
Ví dụ 1:
Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):
a) \({2^{{x^2} + 3x – 2}} = \frac{1}{4}\)
b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)
Lời giải:
a) \({2^{{x^2} + 3x – 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x – 2}} = {2^{ – 2}}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 3x – 2 = – 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 3 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.
b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x – 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ – \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}\)
\(\Leftrightarrow x – 1 – \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = – 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\).
Ví dụ 2:
Giải phương trình \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\) (Dùng phương pháp lôgarit hóa)
Lời giải:
Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:
\({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\)
\(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – {\log _2}3 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = – {\log _2}3\).
Ví dụ 3:
Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)
a) \({3.25^x} – {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\)
b) \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 – {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} – 1\)
Lời giải:
a) Phương trình \(\Leftrightarrow {3.25^x} – {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)\)
Khi đó phương trình trở thành: \(3{t^2} – 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\)
(*) Với \(t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
(*) Với \(t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}\).
b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 – {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0\)
Nhận xét: \(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 – {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 – {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}\)
Khi đó phương trình tương đướng với:
\(u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u – 1)(v – 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 – {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 – {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = – 1 \end{array} \right.\).
Ví dụ 4:
a) \(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3\)
b) \({2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} = {(x – 1)^2}\)
Lời giải:
a) Điều kiện: \(x>0\)
\(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 \Leftrightarrow {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 – x\) (*)
Nhận xét:
+ Vế phải của phương trình là một hàm số nghịch biến.
+ Vế trái của phương trình là một hàm số đồng biến.
Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.
Dễ thấy: \(x=1\) là nghiệm của phương trình (*).
Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Ta có: \({(x – 1)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} – x \ge x – 1\)
Suy ra: \({2^{{x^2} – x}} \ge {2^{x – 1}} \Leftrightarrow {2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} \le 0\) (Do hàm số \(y=2^t\) đồng biến)
Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} VT \le 0\\ VP \ge 0 \end{array} \right.\)
Mà: \(VT=VP\)
Suy ra: \(VT=VP=0\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(x – 1)^2} = 0\\ {2^{x – 1}} = {2^{{x^2} – x}} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1.\)
====
TRẮC NGHIỆM
Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ
=====
Để lại phản hồi