Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình \({2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1} \)có nghiệm duy nhất?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình \({2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1} \)có nghiệm duy nhất?

A. \(3\).

B. Vô số.

C. \(1\).

D. \(2\).

Lời giải:

Đặt \(t = {2^x}\left( {t > 0} \right)\),phương trình cho trở thành .

\(t + 3 = m\sqrt {{t^2} + 1} \).

\( \Leftrightarrow m = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\)với .

Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{{1 – 3t}}{{\left( {{t^2} + 1} \right)\sqrt {{t^2} + 1} }}\).

Cho \(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\left( {TM} \right)\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên,ta thấy với \(1 < m \le 3\)hoặc \(m = \sqrt {10} \)thì phương trình có một nghiệm duy nhất.

Do đó có 2 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu. là \(m \in \left\{ {2;3} \right\}\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ.