• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề: Xem hàm số   $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2)    $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3)    Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$

Đăng ngày: 08/03/2020 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Tiếp tuyến của đồ thị

ham so
Đề bài: Xem hàm số   $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2)    $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3)    Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$

Lời giải

$1)$    Dành cho bạn đọc.

$2)$    Kí hiệu ${x_M} = a$ là hoành độ của $M$. Khi đó $M$ có tung độ
${y_M} = \frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}$
và tại $M$ tiếp tuyến có hệ số góc $y’\left( a \right) = 1/2 – 1/{\left( {a – 1} \right)^2}$.
Từ đó ta có phương trình tiếp tuyến tại $M$:  $y = \left[ {\frac{1}{2} – \frac{1}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {x – a} \right) + \left( {\frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}} \right)$
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại $A$ với tọa độ ${x_A} = 1$.
${y_A} = \left[ {\frac{1}{2} – \frac{1}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {1 – a} \right) + \left( {\frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}} \right) =  – \frac{1}{2} + \frac{2}{{a – 1}}$
và cắt tiệm cận xiên tại với tọa độ
${y_B} = \left[ {\frac{1}{2} – \frac{1}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {{x_B} – a} \right) + \left( {\frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}}} \right) = \frac{B}{2} – 1$
$ \Rightarrow \frac{{{x_B} – a}}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{a – 1}} \Rightarrow {x_B} = 2a – 1$ , do đó ${y_B} = a – 3/2$.
Ta có $\frac{1}{2}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + 2a – 1} \right) = a = {x_M},$
$\frac{1}{2}\left( {{y_A} + {y_B}} \right) = \frac{1}{2}\left[ { – \frac{1}{2} + \frac{2}{{a – 1}} + a – \frac{3}{2}} \right] = \frac{a}{2} – 1 + \frac{1}{{a – 1}} = {y_M},$  chứng tỏ $M$ là trung điểm của $AB$.
Giao điểm $I$ của các tiệm cận có tọa độ ${x_1} = 1,{y_1} = \left( {1/2} \right) – 1 =  – 1/2$. Vậy $\Delta IAB$ có diện tích
$S = \frac{1}{2}\left| {{y_A} – {y_1}} \right|.\left| {{x_A} + {x_1}} \right| = \frac{1}{2}.\frac{2}{{a – 1}}.\left| {2a – 2} \right| = 2$

$3)$    Gọi ${x_1},{x_2}$ là hoành độ hai điểm $M, N$ của đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$. Thế thì ${x_2},{x_1}$ là tung độ của hai điểm $M, N$.
Đường thẳng $MN$ vuông góc với đường thẳng $y = x$ nên có hệ số góc $-1$, vậy có phương trình $y = – x + k$. Ta có ${x_2} = – {x_1} + k \Rightarrow k = {x_1} + {x_2}$. $M, N$ thuộc đồ thị nên ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình
$\frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}} = – x + k \Leftrightarrow 3{x^2} – \left( {5 + 2k} \right)x + 4 + 2k = 0$.        $(1)$
Theo định lí Viet ta có $k = {x_1} + {x_2} = \left( {5 + 2k} \right)/3 \Rightarrow k = 5$.
Với $k = 5\Rightarrow $ (1) trở thành $3{x^2} – 15x + 14 = 0$. Giải ra ta có  ${x_{1,2}} = \frac{{15 \pm \sqrt {57} }}{6}$

Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Tiếp tuyến của đồ thị

Bài liên quan:

  1. Cho hàm số \(y = – {x^3} + 3{x^2} – 7x + 2\). Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc lớn nhất có phương trình là

  2. Cho hai hàm số \(y = {x^2}\) (\({C_1}\)) và \(y = \sqrt {5 – {x^2}} – \frac{{41}}{{16}}\) (\({C_2}\)). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị \(\left( {{C_1}} \right),\;\,\left( {{C_2}} \right)\) có hệ số góc dương là

  3. Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {4\,;\,1} \right)\)?

  4. Cho hàm số \(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị \(\left( H \right)\). Tìm trên \(Oy\)tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới \(\left( H \right)\).

  5. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} – 2m{x^2} + 3m\) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt?

  6. Cho hàm số \(y = \frac{{3x – 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị \((C)\). Biết \(y = ax + b\) là phương trình tiếp tuyến của \((C)\) có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm là số nguyên dương. Tính \(2a + b\).

  7. Cho hàm số \(y = {\log _2}\frac{{x + 3}}{{2 – x}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) với đường thẳng \(d:y = 2\) là:

  8. Xét đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = {x^3} + 3ax + b\) với \(a,b\) là các số thực. Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm phân biệt thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm đó có hệ số góc bằng \(3\). Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng \(MN\)bằng \(1\). Khi đó giá trị lớn nhất của \({a^2} – {b^2}\) bằng

  9. Cho hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,1} \right)\). Tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng
  10. Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) đều có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({f^3}\left( {2 – x} \right) – 2.{f^2}\left( {2 + 3x} \right) + {x^2}.g\left( x \right) + 36x = 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \({x_o} = 2\) là
  11. Số tiếp tuyến chung của hai đồ thị \(\left( {{C_1}} \right):y = \frac{{{x^4}}}{4} – 2{x^2} + 4\)và \(\left( {{C_2}} \right):y = {x^2} + 4\) là

  12. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1,\) biết \({f^2}(1 + 2x) = x – {f^3}(1 – x)\) là đường thẳng nào sau đây?

  13. Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(a\) để có hai tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) qua \(A\left( {a\,;\,2} \right)\) với hệ số góc \({k_1}\), \({k_2}\) thỏa mãn \({k_1} + {k_2} + 10k_1^2.k_2^2 = 0\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng
  14. Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{2x – 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) (với \({x_0} > 1\)) là điểm thuộc \(\left( C \right)\), biết tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho \({S_{\Delta OIB}} = 8{S_{\Delta OIA}}\) (trong đó \(O\) là gốc tọa độ, \(I\) là giao điểm hai tiệm cận). Tính giá trị của \(S = {x_0} + 4{y_0}.\)
  15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {{\rm{e}}^x} + m\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = \ln \left( {x + 1} \right)\).

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Bài tập tự luận về hàm số




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.