(ĐỀ MINH HỌA – BDG 2020-2021) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) và \(B\left( {6;5;5} \right)\). Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(A\), đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính \(AB\). Khi \(\left( N \right)\) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) có phương trình dạng \(2x + by + cz + d = 0\). Giá trị của \(b + c + d\) bằng

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

(ĐỀ MINH HỌA – BDG 2020-2021) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) và \(B\left( {6;5;5} \right)\). Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(A\), đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính \(AB\). Khi \(\left( N \right)\) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) có phương trình dạng \(2x + by + cz + d = 0\). Giá trị của \(b + c + d\) bằng
A.\( – 21\).
B. \( – 12\).
C. \( – 18\).
D. \( – 15\).
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định bán kính và chiều cao của đáy nón, với tâm của đường tròn đáy nón là điểm \(M\) thuộc bán kính \(IB\) của mặt cầu; đặt \(IM = x\;\left( {0 \le x < 3} \right)\). B2: Lập công thức tính thể tích khối nón là một hàm số ẩn \(x\). Tìm điểm mà tại đó hàm số đạt GLNN. B3: So sánh cặp vectơ bằng nhau suy ra tọa độ điểm \(M\). Mặt phẳng cần tìm sẽ qua \(M\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm vectơ pháp tuyến. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;4;2} \right),\;AB = 6\).
Gọi \(M\) là điểm thuộc đoạn \(IB\) (\(M\) không trùng \(B\)) sao cho \(IM = x\;\left( {0 \le x < 3} \right)\). Khi đó \(AM = x + 3\), \(MC = \sqrt {9 - {x^2}} \).
Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi M{C^2}.AM = \frac{1}{3}\pi \left( {9 – {x^2}} \right)\left( {x + 3} \right) = \frac{1}{3}\pi \left( { – {x^3} – 3{x^2} + 9x + 27} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = – {x^3} – 3{x^2} + 9x + 27\), \(x \in \left[ {0;3} \right)\), có \(f’\left( x \right) = – 3{x^2} – 6x + 9\).
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 3\;\left( l \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 32\)
Như vậy\({V_{\max }} = \frac{{32\pi }}{3}\) khi \(AM = 4 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).
Với \(\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} – 2;{y_M} – 1;{z_M} – 3} \right)\), ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} – 2 = \frac{2}{3}.4\\{y_M} – 1 = \frac{2}{3}.4\\{z_M} – 3 = \frac{2}{3}.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{14}}{3}\\{y_M} = \frac{{11}}{3}\\{z_M} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{14}}{3};\frac{{11}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
Vậy, mặt phẳng cần tìm qua \(M\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
\(4\left( {x – \frac{{14}}{3}} \right) + 4\left( {y – \frac{{11}}{3}} \right) + 2\left( {z – \frac{{13}}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z – 21 = 0\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b = 2\\c = 1\\d = – 21\end{array} \right. \Rightarrow b + c + d = 3 + 1 + \left( { – 21} \right) = – 18\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)