Đề bài: Cho hàm số \(y = 2x – 1 + \frac{{2m}}{{x – 1}}\)$1$. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = 1$.$2$. Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng thời có cực đại và cực tiểu.$3$. Tìm quỹ tích các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số khi $m$ thay đổi.
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải.
$2$.
Hàm số có cực đại và cực tiểu \( \Leftrightarrow y’ = \frac{{2{x^2} – 4x + 2 – 2m}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\) có hai nghiệm phân biệt \( \ne 1\)
\(\Leftrightarrow 2{x^2} – 4x + 2 – 2m\) có \(\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ‘ = 4m > 0 \Leftrightarrow m > 0\\
{2.1^2} – 4.1 + 2 – 2m \ne 0
\end{array} \right.\)
$3$. Với $m > 0$ hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ:
Điểm cực đại có tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – \sqrt m \\
y = 2x – 1 + \frac{{2m}}{{x – 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = {\left( {x – 1} \right)^2}\\
y = 4x – 3\\
x \end{array} \right.\)
Quỹ tích điểm cực đại là nửa đường thẳng có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
y = 4x – 3\\
x \end{array} \right.\)
Điểm cực đại có tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt m \\
y = 2x – 1 + \frac{{2m}}{{x – 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = {\left( {x + 1} \right)^2}\\
y = 4x – 3\\
x \end{array} \right.\)
Quỹ tích điểm cực tiểu là đường thẳng là \(\left\{ \begin{array}{l}
y = 4x – 3\\
x > 1
\end{array} \right.\)
Trả lời