Đề: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 – mx + 2$. Tìm $m$ để hàm số có cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng $y = x – 1$

Đề bài: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 – mx + 2$. Tìm $m$ để hàm số có cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng $y = x – 1$

Lời giải

Hàm số có CĐ, CT $ \Leftrightarrow y’ = 3{x^2} – 6x – m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta ‘ = 9 + 3m > 0 \Leftrightarrow m > – 3 (*) $
Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $y’=0$. Theo định lí Vi-ét ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2 =2 \\ x_1.x_2 = – \frac{m}{3}  \end{cases} $
Thực hiện chia $y$ cho $y’$ ta được:
$y= y’   \left ( \frac{1}{3}x-\frac{1}{3}   \right ) –  \left ( \frac{2m}{3}+2  \right )x+2-\frac{m}{3}  $
$y_1=-  \left ( \frac{2m}{3}+2  \right )x_1+2-\frac{m}{3} $
$y_2=-  \left ( \frac{2m}{3}+2  \right )x_2+2-\frac{m}{3} $
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: $y=-  \left ( \frac{2m}{3}+2  \right )+2-\frac{m}{3}$
$\Rightarrow y_1+y_2= –  \left ( \frac{2m}{3}+2  \right )  \left ( x_1+x_2  \right ) +  2\left ( 2-\frac{m}{3} \right ) $
$= – 2 \left ( \frac{2m}{3}+2  \right )   +  2\left ( 2-\frac{m}{3} \right ) =-2m$
TH1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng $y=x-1$ $\Leftrightarrow –  \left ( \frac{2m}{3}+2  \right )=1 \Leftrightarrow m=\frac{3}{2} (TM) $
TH2: Trung điểm $I$ của $AB$ nằm trên đường thẳng $y=x-1$
Tọa độ của $I=  \left ( \frac{x_1+x_2 }{2}; \frac{y_1+y_2 }{2}   \right )=   \left ( 1; -m \right )  $
$I \in y=x-1 \Leftrightarrow -m=1-1 \Leftrightarrow m=0$
Vậy giá trị của $m$ cần tìm: $m= \left\{ {0; – \frac{3}{2} } \right\} $