Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} + (m + 2)x – m}}{{x + 1}}$ (1)a) Với giá trị nào của $m$, hàm số (1) có cực đại, cực tiểu?b) Xác định giá trị của $m$ để cho đường thẳng $y = – (x + 4)$ cắt đường cong (1) tại hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng phân giác của góc phần tư thứ nhất
Lời giải
a) Ta có: $y = x + m + 1 – \frac{{2m + 1}}{{x + 1}}$
Và $y’ = 1 + \frac{{2m + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{(x + 1)}^2} + (2m + 1)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
Muốn hàm số có cực đại, cực tiểu thì $y’$ triệt tiêu tại hai điểm và đổi dấu qua hai điểm đó $ \Rightarrow 2m + 1
b) Trước hết tìm điều kiện đối với $m$ để đường thẳng $y = – (x + 4)$ cắt đường cong $(1)$ tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ phương trình : $\frac{{{x^2} + (m + 2)x – m}}{{x + 1}} = – (x + 4)$ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow $ phương trình $2{x^2} + (m + 7)x + 4 – m = 0$ $(2)$ có hai nghiệm phân biệt $ \ne – 1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2.{( – 1)^2} + (m + 7)( – 1) + 4 – m \ne 0\\
\Delta = {(m + 7)^2} – 8(4 – m) > 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne – 1/2\\
{m^2} + 22m = 17 > 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow m – 11 + \sqrt {104} {\rm{ (m}} \ne {\rm{ – 1/2)}}$ $(3)$
Gọi ${x_1},{x_2}$ là hoành độ hai giao điểm, ta có ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của $(2)$; theo định lý Viet ta có
$\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = – \frac{{m + 7}}{4} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = – \frac{{m + 7}}{2}$
Lại do hai giao điểm đối xứng qua đường phân giác $y = x$ nên tung độ của hai giao điểm lần lượt là ${x_2},{x_1} \Rightarrow {x_2} = – ({x_1} + 4) \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = – 4$
Từ đó ta có $ – \frac{{m + 7}}{2} = – 4 \Leftrightarrow m = 1$ thỏa mãn $(3)$
Trả lời