Đề: Xem hàm số: $y = \frac{{{x^2} + m({m^2} – 1)x – {m^4} + 1}}{{x – m}}$a) Chứng minh rằng với mọi giá trị $m$, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.b) Chứng minh rằng trên mặt phẳng tọa độ tồn tại một điểm duy nhất với tính chất: nó là điểm cực đại cả đồ thị ứng với một giá trị nào đó của $m$, và nó là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với một giá trị khác của $m$

Đề bài: Xem hàm số: $y = \frac{{{x^2} + m({m^2} – 1)x – {m^4} + 1}}{{x – m}}$a) Chứng minh rằng với mọi giá trị $m$, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.b) Chứng minh rằng trên mặt phẳng tọa độ tồn tại một điểm duy nhất với tính chất: nó là điểm cực đại cả đồ thị ứng với một giá trị nào đó của $m$, và nó là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với một giá trị khác của $m$

Lời giải

a) Ta có: $y = x + {m^3} + \frac{1}{{x – m}}$
Hàm số xác định với $x \ne m$. Ta có:
$y’ = 1 – \frac{1}{{{{(x – m)}^2}}} = \frac{{{{(x – m)}^2} – 1}}{{{{(x – m)}^2}}}$
Tử số của $y’$ là một tam thức bậc hai, luôn có hai nghiệm ${x_1} = m – 1,{\rm{ }}{{\rm{x}}_2} = m + 1$, $\forall m$ nên hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
Cụ thể hoành độ cực đại là  ${x_1} = m – 1,$ hoành độ cực tiểu là ${\rm{ }}{{\rm{x}}_2} = m + 1$.

b) Tung độ cực đại : ${y_1} = {m^3} + m – 2$, tung độ cực tiểu ${y_2} = {m^3} + m + 2$.
Từ đó (khử $m$) ta có quỹ tích điểm cực đại : $y = {x^3} + 3{x^2} + 4x$, quỹ tích điểm cực tiểu $y = {x^3} – 3{x^2} + 4x$.
Dễ nhận thấy rằng hai quỹ tích này cắt nhau tại một điểm $O (0, 0)$ duy nhất. Đó là điểm trên mặt phẳng tọa độ hàm số đạt cực đại ứng với $m = 1$, đồng thời đạt cực tiểu ứng với $m = – 1$