Đề: Cho hàm:  $y = {x^3} + m{x^2} – 1$a) Chứng minh rằng với mọi $m \ne 0$, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.b) Chứng minh rằng với mọi $m$, phương trình ${x^3} + m{x^2} – 1 = 0$ luôn có một nghiệm dương.c) Xác định $m$ để phương trình ${x^3} + m{x^2} – 1 = 0$ có một nghiệm duy nhất

Đề bài: Cho hàm:  $y = {x^3} + m{x^2} – 1$a) Chứng minh rằng với mọi $m \ne 0$, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.b) Chứng minh rằng với mọi $m$, phương trình ${x^3} + m{x^2} – 1 = 0$ luôn có một nghiệm dương.c) Xác định $m$ để phương trình ${x^3} + m{x^2} – 1 = 0$ có một nghiệm duy nhất

Lời giải

a) Ta có:  $y’ = 3{x^2} + 2mx = x(3x + 2m)$
Với $m \ne 0, y’ $luôn có hai nghiệm $x = 0$ và $x =  – 2m/3$
Đồng thời $y’$ là một tam thức bậc hai nên đổi dấu qua 2 nghiệm đó $ \Rightarrow $ với mọi $m \ne 0$, hàm số $y$ luôn có cực đại và cực tiểu.

b) Ta có:
$y(0) = – 1,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } = + \infty $ nên tồn tại ${x_o}$ : $0 $\Rightarrow $ phương trình ${x^3} + m{x^2} – 1 = 0$ luôn có một nghiệm dương ${x_o}$ với mọi $m$.

c) * $m = 0$ ta có ${x^3} – 1 = 0$$ \Leftrightarrow x = 1$ là nghiệm duy nhất.
    * $m \ne 0$, theo phần a) hàm số $y$ luôn có cực đại và cực tiểu tại $x = 0,x = – 2m/3 \Rightarrow $ để ${x^3} + m{x^2} – 1 = 0$ có nghiệm duy nhất điều kiện cần và đủ là:
       $y_{CĐ}.y_{CT} > 0$    $ \Leftrightarrow y(0)y( – 2m/3) > 0$
$ \Leftrightarrow  – 1.\left[ {{{( – 2m/3)}^3} + m{{( – 2m/3)}^2} – 1} \right] > 0$
$ \Leftrightarrow 4{m^3} – 27  Đáp số : ${\rm{m}}