Đề bài: $1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = -x^3 + 3x^2 – 4$$2.$ Với mỗi giá trị của tham số $a$, tìm tọa độ của điểm cực đại và của điểm cực tiểu của đồ thị $C_a$ của hàm số $y = -x^3 + ax^2 – 4$$3.$ Xác định $a$ để mọi đường thẳng có phương trình $y = m$ với $-4 < m < 0$ cắt $C_a$ tại ba điểm phân biệt.
Lời giải
$1.$ Xin dành cho bạn đọc .
$2.$ $y’ = – 3{x^2} + 2ax$
Nếu $a = 0$ thì $y’ = -3x^2 \le 0$=> Hàm số không có cực trị. Với $a \ne 0$, y’ có $2$ nghiệm phân biệt $x = 0; x = \frac{{2a}}{3}$. Xét dấu y’’ = $-6x + 2a$ và $y’’(\frac{{2a}}{3})=-2a.$ Do đó:
+ Nếu $a > 0$ thì hàm số có điểm cực đại ${M_1}\left( {\frac{{2a}}{3};\frac{{4{a^3}}}{{27}} – 4}
\right)$ và điểm cực tiểu ${M_2}\left( {0; – 4} \right)$
+ Nếu $a {\frac{{2a}}{3};\frac{{4{a^3}}}{{27}} – 4} \right)$
$3.$ Yêu cầu bài toán
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {y_{\min }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 a > 0
\end{array} \right.\forall m \in ( – 4;0)\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\frac{{4{a^3}}}{{27}} – 4 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a \ge 3
\end{array}$
Trả lời