Đề bài: Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{2}(\sin a + \cos a){x^2} + \frac{3\sin 2a}{4}x$.
Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$
Lời giải
Ta có: \(f'(x) = {x^2} – (\sin a + c{\rm{os}}a)x + \frac{{3\sin 2a}}{4}\)
Hàm số có CĐ, CT \( \Leftrightarrow f'(x) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow \)
$\Leftrightarrow \left ( \sin a+ \cos a \right )^2-3 \sin 2a >0$
$\Leftrightarrow 1-2 \sin 2a>0 \Leftrightarrow \sin 2a Với điều kiện trên thì f’(x) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\), và hàm đạt cực trị tại \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Vi-ét ta có:
$\begin{cases}{x_1} + {x_2} = \sin a + \cos a \\ {x_1}.{x_2} = \frac{{3{\rm{sin}}2a}}{4} \end{cases} $
Điều kiện \({x_1} + {x_2} = x_1^2 + x_2^2\) \( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}.{x_2}\)
\( \Leftrightarrow \sin a + \cos a = {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} – \frac{{{\rm{3sin}}2a}}{2}(2)\)
Đặt \(t = \sin a + \cos a = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{4} – a} \right)\)\( \Rightarrow \sin 2a = {t^2} – 1\), do đk nên \({t^2} – 1
Trả lời