Đề bài: Cho hàm số \(y = \frac{{2{m^2}{x^2} + \left( {2 – {m^2}} \right)\left( {mx + 1} \right)}}{{mx + 1}}\,\,\left( 1 \right)\)$1$. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô trên $m= -2$$2$. Chứng minh rằng với mọi $m$ \( \ne 0\), hàm số $(1)$ luôn có cực đại và cực tiểu.$3$. Chứng minh với mọi $m$ \( \ne 0\),tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $(1)$ luôn tiếp xúc với parabol cố định. Tìm phương trình của parabol đó.
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải
$2$. \(y = 2(mx – 1) + 2 – {m^2} + \frac{2}{{mx + 1}}\) hay \(y = 2mx – {m^2} + \frac{2}{{mx + 1}}\)
và \(y’ = 2m – \frac{{2m}}{{{{\left( {mx + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2m\left( {{m^2}{x^2} + 2mx} \right)}}{{{{\left( {mx + 1} \right)}^2}}}\)
luôn có $2$ nghiệm phân biệt \(x = 0,\,\,x = \frac{{ – 2}}{m}\)\( \Rightarrow \forall m \ne 0\) hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
$3$. \(y = 2mx – {m^2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị với \(m \ne 0\)
Tiếp tuyến của parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)tại điểm \(\left( {{x_0}, {\rm{a}}{{\rm{x_0}}^2} + bx_0 + c} \right)\)
có phương trình \(y = \left( {2a{x_0} + b} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {\rm{ax}}_0^2 + b{x_0} + c\)
Nó sẽ trùng với tiệm cận xiên \(y = 2mx – {m^2}\) của đồ thị\(\left( {{C_m}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a{x_0} + b = 2m\\
– {\rm{ax}}_0^2 + c = -{m^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = \frac{{2m – b}}{{2a}}\\
– a{\left( {\frac{{2m – b}}{{2a}}} \right)^2} + c = -{m^2}
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow – \left( {4{m^2} – 4bm + {b^2}} \right) + 4ac = – 4a{m^2} \Leftrightarrow \left( {4a – 4} \right){m^2} + 4bm + \left( {4ac – {b^2}} \right) = 0\)
phương trình nghiệm đúng với \(\forall m \Leftrightarrow a = 1,b = c = 0\).
Đáp số \(y = {x^2}\)
Để lại phản hồi