Đề: Cho hàm số:  $y = \frac{{2{x^3}}}{3} + (cos a – 3sin a){x^2} – 8(cos2a + 1)x + 1$  với $a$ là tham số.a) Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.b) Giả sử hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ ${x_1},{x_2}$. Chứng minh rằng $x_1^2 + x_2^2 \le 18$ với mọi $a$

Đề bài: Cho hàm số:  $y = \frac{{2{x^3}}}{3} + (cos a – 3sin a){x^2} – 8(cos2a + 1)x + 1$  với $a$ là tham số.a) Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.b) Giả sử hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ ${x_1},{x_2}$. Chứng minh rằng $x_1^2 + x_2^2 \le 18$ với mọi $a$

Lời giải

a) Hàm số xác định với mọi $x$. Ta có:
$y’ = 2{x^2} + 2(\cos a – 3\sin a)x – 8(c{\rm{os}}2a + 1)$
$ = 2{x^2} + 2(\cos a – 3\sin a)x – 16{\cos ^2}a$
$\Delta ‘ = {(\cos a – 3\sin a)^2} + 32{\cos ^2}a = 3(3 – \sin 2a) + 24{\cos ^2}a > 0$
$ \Rightarrow y’ = 0$ có 2 nghiệm phân biệt, $\forall a{\rm{ }} \Rightarrow $ hàm số luôn có cực đại, cực tiểu,$\forall a$.

b) Ta có ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của $y’ = 0$, theo định lý Viet ta có
    ${x_1} + {x_2} = 3\sin a – \cos a,{\rm{ }}{{\rm{x}}_1}{x_2} = – 8{\cos ^2}a$
Từ đó
$x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = {\left( {3\sin a – \cos a} \right)^2}{\rm{ + 16co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{a}}$
$\begin{array}{l}
              = 12 + 4\cos 2a – 3\sin 2a\\
              = 13 + 5\left[ {(4/5)c{\rm{os}}2a – (3/5)\sin 2a} \right] = 13 + 5\cos (2a + \alpha )
\end{array}$
               $ \le 13 + 5 = 18$, trong đó $c{\rm{os}}\alpha  = 4/5,{\rm{ sin}}\alpha  = 3/5$