Đề: Cho hàm số: $y = x^4 – 2mx^2 + 2m + m^4$$1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu? Đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$

Đề bài: Cho hàm số: $y = x^4 – 2mx^2 + 2m + m^4$$1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu? Đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$

Lời giải

$1.$ $y’ = 4{x^3} – 4mx = 4x({x^2} – m)$
Nếu hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều
thì $y’ = 0$ phải có $3$ nghiệm phân biệt $ \Rightarrow m > 0$
Với $m > 0$ thì $y’ = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  \pm \sqrt m
\end{array} \right.$
Đồ thị có điểm cực đại $A(0,2m + {m^4})$ và $2$ điểm cực tiểu $B( – \sqrt m ;{m^4} – {m^2} +2m)\,\,  ;\,\,C\left( {\sqrt m ;{m^4} – {m^2} + 2m} \right)$
Các đỉnh $A, B, C$ là $3$ đỉnh của một tam giác đều khi chỉ khi $AB = BC$
$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2} \Leftrightarrow {m^3} = 3\,\,(do   m > 0)\\
 \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{3}
\end{array}$
$2.$ Bạn đọc tự giải