Đề: Cho hàm số $y = {x^3} + (1 – 2m){x^2} + (2 – m)x + m + 2\,\,\,\, (C)$. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1.

Đề bài: Cho hàm số $y = {x^3} + (1 – 2m){x^2} + (2 – m)x + m + 2\,\,\,\, (C)$. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1.

Lời giải

Ta có: \(y’ = 3{x^2} + 2(1 – 2m)x + (2 – m)\)
Hàm số có CĐ, CT \( \Leftrightarrow y’ = 0\) có 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ‘ = {(1 – 2m)^2} – 3(2 – m) = 4{m^2} – m – 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > \frac{5}{4}\\
m Với điều kiện (*), gọi \({x_1} Theo định lí Vi-ét ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2 =-\frac{1-2m}{3}  \\ x_1.x_2 =\frac{2-m}{3}  \end{cases} $
Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn $-1$ \( \Leftrightarrow \) $y’ = 0$ có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) đều lớn hơn $-1$
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
{x_1} + {x_2} > – 2\\
\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0
\end{array} \right.
\) $\Leftrightarrow \begin{cases}x_1+x_2 >-2 \\ x_1.x_2 +(x_1+x_2 )+1>0 \end{cases} $\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  – \frac{{2(1 – 2m)}}{3} > – 2\\
– \frac{{2(1 – 2m)}}{3} + \frac{{2 – m}}{3} +1> 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > -1\)
Vậy so với điều kiện ta được: $m>\frac{5}{4} $