Đề: Cho hàm số       $y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – m}}$            (1)1)    Xác định tham số $m$ để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp đó.2) Tìm $m$ để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện:  $| {{y_{CD}} – {y_{CT}}} | > 8$3) Giả sử $m \ne 0$ và $m \ne 1$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (1) tại giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1

Đề bài: Cho hàm số       $y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – m}}$            (1)1)    Xác định tham số $m$ để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp đó.2) Tìm $m$ để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện:  $| {{y_{CD}} – {y_{CT}}} | > 8$3) Giả sử $m \ne 0$ và $m \ne 1$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (1) tại giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1

Lời giải

$1)$ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $x = m$ là nghiệm của tử số trong biểu thức hàm số.
    $ \Leftrightarrow 2{m^2} – 3m + m = 0{\rm{  }} \Leftrightarrow {\rm{m}} = 0,{\rm{ m}} = 1$.
Với $m = 0$ ta có hàm số  $y = 2x – 3{\rm{  (x}} \ne {\rm{0)}}$ ;
Với $m = 1$ ta có hàm số  $y = 2x – 1{\rm{  (x}} \ne {\rm{1)}}$

$2)$ Ta viết lại hàm số dưới dạng  $y = 2x + (2m – 3) + \frac{{2({m^2} – m)}}{{x – m}}$
Và có $y’ = 2 – \frac{{2({m^2} – m)}}{{{{(x – m)}^2}}} = \frac{{2\left[ {{{(x – m)}^2} – ({m^2} – m)} \right]}}{{{{(x – m)}^2}}}$
Để hàm số có cực đại và cực tiểu cần có ${m^2} – m > 0{\rm{  }} \Leftrightarrow {\rm{m}} 1$.
Khi đó hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là ${x_{1,2}} = m \pm \sqrt {{m^2} – m} $ và
$\left| {{y_{cd}} – {y_{ct}}} \right| = \left| {2{x_1} + (2m – 3) + \frac{{2({m^2} – m)}}{{{x_1} – m}}} \right| – \left[ {2{x_2} + (2m – 3) + \frac{{2({m^2} – m)}}{{{x_2} – m}}} \right]$
                  $ = \left| {2({x_1} – {x_2}) + 2({m^2} – m)\left( {\frac{1}{{\sqrt {{m^2} – m} }} + \frac{1}{{\sqrt {{m^2} – m} }}} \right)} \right|$
                  $ = \left| {4\sqrt {{m^2} – m}  + \frac{{4({m^2} – m)}}{{\sqrt {{m^2} – m} }}} \right| = \frac{{8({m^2} – m)}}{{\sqrt {{m^2} – m} }} > 8$
$ \Leftrightarrow {m^2} – m > \sqrt {{m^2} – m} {\rm{ }} \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} – m} \left( {\sqrt {{m^2} – m}  – 1} \right) > 0$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} – m}  > 1{\rm{ }} \Leftrightarrow {{\rm{m}}^2} – m – 1 > 0$
$ \Leftrightarrow m \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$
Đáp số : $m \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$

$3)$ Với $m \ne 0 ; 1$: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = m$, cắt trục tung tại điểm $(0{\rm{ ; }} – {\rm{1)}}$, do đó có phương trình tiếp tuyến tại $(0{\rm{ ; }} – {\rm{1)}}$ là:
    $y + 1 = y'(0)x = \frac{{2x}}{m}{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{y}} = \frac{{2x}}{m} – 1$
Với $x = m$ ta có ${\rm{y}} = \frac{{2x}}{m} – 1 = 1$. Đó là điều cần chứng minh