Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên \(y > 5\) để tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn \({\log _{15}}\left( {4x + 3y + 1} \right) = {\log _6}\left( {{x^2} – 2x + {y^2}} \right)\)?
A. \(3.\)
B. \(0.\)
C. \(1.\)
D. \(2.\)
GY:
Đặt \({\log _{15}}\left( {4x + 3y + 1} \right) = {\log _6}\left( {{x^2} – 2x + {y^2}} \right) = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y + 1 – {15^t} = 0\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = {6^t} + 1\end{array} \right.\).
Hệ có nghiệm \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(\Delta :4x + 3y + 1 – {15^t} = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = {6^t} + 1\) có điểm chung, với tâm \(I\left( {1;0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {5 – {{15}^t}} \right|}}{5} \le \sqrt {{6^t} + 1} \Leftrightarrow {225^t} – {10.15^t} – {25.6^t} \le 0\\ \Leftrightarrow {15^t} – 6.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^t} – 10 \le 0\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {15^t} – 6.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^t} – 10\)
Đạo hàm \(f’\left( t \right) = {15^t}.\ln 15 – 6.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^t}\ln \frac{2}{5} > 0,\forall t\)
Do vậy: hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Khi đó \(f\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow t \le 0,9341\)
Do \({\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = {6^t} + 1\) nên \(\left| y \right| \le \sqrt {{6^t} + 1} \), dẫn đến \(\left| y \right| \le 6\)
Kết hợp giả thiết ta suy ra \(y = 6.\)
Thử lại:
Với \(y = 6\), hệtrở thành
\(\left\{ \begin{array}{l}4x + 19 – {15^t} = 0\\{\left( {x – 1} \right)^2} = {6^t} – 35\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {\frac{{{{15}^t} – 23}}{4}} \right)^2} = {6^t} – 35 \Leftrightarrow {225^t} + 1089 = {46.15^t} + {16.6^t}\)
Nếu \(t < 0\) thì \({15^t} < {1,6^t} < 1 \Rightarrow {225^t} + 1089 > {46.15^t} + {16.6^t}\).
Nếu \(t \ge 1 \Rightarrow {15^t} > {6^t}\), ta sẽ chứng minh \({225^t} + 1089 > {62.15^t}.\)
Thật vậy, ta có \({225^t} + 1089 – {62.15^t} = {\left( {{{15}^t} – 31} \right)^2} + 128 > 0\)
Dẫn đến \({225^t} + 1089 > {62.15^t} > {46.15^t} + {16.6^t}\).
Nếu \(0 \le t \le 1\) thì \({15^t} \le {15,6^t} \le 6 \Rightarrow {225^t} + 1089 > {46.15^t} + {16.6^t}\)
Vậyvô nghiệm.
=======
Trả lời