Có bao nhiêu số nguyên \(y > 5\) để tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn \({\log _{15}}\left( {4x + 3y + 1} \right) = {\log _6}\left( {{x^2} – 2x + {y^2}} \right)\)?

Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên \(y > 5\) để tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn \({\log _{15}}\left( {4x + 3y + 1} \right) = {\log _6}\left( {{x^2} – 2x + {y^2}} \right)\)?

A. \(3.\)

B. \(0.\)

C. \(1.\)

D. \(2.\)

GY:

Đặt \({\log _{15}}\left( {4x + 3y + 1} \right) = {\log _6}\left( {{x^2} – 2x + {y^2}} \right) = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y + 1 – {15^t} = 0\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = {6^t} + 1\end{array} \right.\).

Hệ có nghiệm \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(\Delta :4x + 3y + 1 – {15^t} = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = {6^t} + 1\) có điểm chung, với tâm \(I\left( {1;0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {5 – {{15}^t}} \right|}}{5} \le \sqrt {{6^t} + 1} \Leftrightarrow {225^t} – {10.15^t} – {25.6^t} \le 0\\ \Leftrightarrow {15^t} – 6.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^t} – 10 \le 0\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {15^t} – 6.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^t} – 10\)

Đạo hàm \(f’\left( t \right) = {15^t}.\ln 15 – 6.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^t}\ln \frac{2}{5} > 0,\forall t\)

Do vậy: hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Khi đó \(f\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow t \le 0,9341\)

Do \({\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = {6^t} + 1\) nên \(\left| y \right| \le \sqrt {{6^t} + 1} \), dẫn đến \(\left| y \right| \le 6\)

Kết hợp giả thiết ta suy ra \(y = 6.\)

Thử lại:

Với \(y = 6\), hệtrở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}4x + 19 – {15^t} = 0\\{\left( {x – 1} \right)^2} = {6^t} – 35\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {\frac{{{{15}^t} – 23}}{4}} \right)^2} = {6^t} – 35 \Leftrightarrow {225^t} + 1089 = {46.15^t} + {16.6^t}\)

Nếu \(t < 0\) thì \({15^t} < {1,6^t} < 1 \Rightarrow {225^t} + 1089 > {46.15^t} + {16.6^t}\).

Nếu \(t \ge 1 \Rightarrow {15^t} > {6^t}\), ta sẽ chứng minh \({225^t} + 1089 > {62.15^t}.\)

Thật vậy, ta có \({225^t} + 1089 – {62.15^t} = {\left( {{{15}^t} – 31} \right)^2} + 128 > 0\)

Dẫn đến \({225^t} + 1089 > {62.15^t} > {46.15^t} + {16.6^t}\).

Nếu \(0 \le t \le 1\) thì \({15^t} \le {15,6^t} \le 6 \Rightarrow {225^t} + 1089 > {46.15^t} + {16.6^t}\)

Vậyvô nghiệm.

=======