Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc với nhau, \(OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(OB = OC = a\). Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện \(OABH\).

DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc với nhau, \(OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(OB = OC = a\). Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện \(OABH\).

\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(I\)là trung điểm của \(BC\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OI\\BC \bot AO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AOI} \right)\)

Trong \(\left( {OAI} \right)\)dựng \(OH \bot AI\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AI\\OH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\)

Từ giả thiết suy ra: \(\Delta OBC\)vuông cân tại \(O\) nên \({\rm{OI = }}\frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), do đó tam giác \(OAI\)vuông cân tại \(O \Rightarrow H\)là trung điểm của \(AI\)và \(OH = \frac{1}{2}AI = \frac{1}{2}OA.\sqrt 2 = \frac{a}{2}\)

Khi đó: \({S_{ABH}} = \frac{1}{2}{S_{ABI}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.AI.BI = \frac{1}{4}.a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{8}\).

Vậy thể tích khối tứ diện \(OABH\) là: \(V = \frac{1}{3}OH.{S_{ABH}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{8} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\).