Cho mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {3;2;2} \right)\) bán kính \({R_1} = 2\), mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {1;0;1} \right)\) bán kính \({R_2} = 1\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đồng thời tiếp xúc với \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) và cắt đoạn \({I_1}{I_2}\) có dạng \(2x + by + cz + d = 0\). Tính \(T = b + c + d\).

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Cho mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {3;2;2} \right)\) bán kính \({R_1} = 2\), mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {1;0;1} \right)\) bán kính \({R_2} = 1\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đồng thời tiếp xúc với \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) và cắt đoạn \({I_1}{I_2}\) có dạng \(2x + by + cz + d = 0\). Tính \(T = b + c + d\).
A.\( – 5\).
B. \( – 1\).
C. \( – 3\).
D. \(2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(\overrightarrow {{I_1}{I_2}} = \left( { – 2; – 2; – 1} \right)\)\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = 3\)\( = {R_1} + {R_2}\) nên hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại \(M\) nằm trên đoạn \({I_1}{I_2}\) \(\left( {M{I_1} = {R_1} = 2;M{I_2} = {R_2} = 1} \right)\) và thoả mãn \(\overrightarrow {M{I_1}} = – 2\overrightarrow {M{I_2}} \quad \,\left( 1 \right)\).
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\).Ta có \(\overrightarrow {M{I_1}} = \left( {3 – x;2 – y;2 – z} \right)\) và \(\overrightarrow {M{I_2}} = \left( {1 – x; – y;1 – z} \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3 – x = – 2 + 2x\\2 – y = 2y\\2 – z = – 2 + 2z\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{3}\\y = \frac{2}{3}\\z = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cần tìm tiếp xúc với \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) đồng thời cắt đoạn \({I_1}{I_2}\) tại \(N\)\( \Rightarrow {I_1}N + {I_2}N = {I_1}{I_2}\) mà \(N{I_1} = {R_1} = 2;N{I_2} = {R_2} = 1\) nên \(N \equiv M\). Khi ấy, \({I_1}{I_2} \bot \left( P \right)\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{I_1}{I_2}} = \left( { – 2; – 2; – 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)\).
Vậy \(\left( P \right)\) có phương trình: \( – 2\left( {x – \frac{5}{3}} \right) – 2\left( {y – \frac{2}{3}} \right) – 1\left( {z – \frac{4}{3}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow – 2x – 2y – z + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 2y + z – 6 = 0\)
\( \Rightarrow b = 2;c = 1;d = – 6\)
\( \Rightarrow T = b + c + d = – 3\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)