Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\)là tam giác cân tại \(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết \(\cos \widehat {CSD} = \frac{5}{6}\). Tính thể tích hình chóp \(S.ABCD\).

DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\)là tam giác cân tại \(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết \(\cos \widehat {CSD} = \frac{5}{6}\). Tính thể tích hình chóp \(S.ABCD\).

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

B. \(\frac{{{a^3}}}{3}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\).

Vì \(SAB\)là tam giác cân tại \(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên trung tuyến \(SM\)(vừa là đường cao) vuông góc với đáy.

Đặt \(SM = x\). Ta có:

\(S{C^2} = S{D^2} = S{M^2} + M{A^2} + A{D^2} = S{M^2} + M{D^2} = {x^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} = {x^2} + \frac{{5{a^2}}}{4}\).

Định lý Cosin trong tam giác \(SCD\), ta có:

\(\cos \widehat {CSD} = \frac{{S{C^2} + S{D^2} – C{D^2}}}{{2SC.SD}} \Leftrightarrow \frac{5}{6} = \frac{{2{x^2} – {a^2}}}{{2{x^2}}} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \).

Thể tích hình chóp cần tìm: \(V = \frac{1}{3}SM.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).