Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là bằng \(60^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng:

DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là bằng \(60^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng:

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(O\) là tâm của đáy\(ABC\)

Do hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp đều nên ta có \(SO \bot \left( {ABC} \right)\), \(AM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \),

\(OM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}a\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có diện tích đáy\(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.2a.2a.\sin 60^\circ = {a^2}\sqrt 3 \)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right.\)

Suy ra góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SMA} = 60^\circ \)

Xét tam giác \(SOM\)vuông tại \(O\)có: \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SO}}{{OM}} \Rightarrow SO = OM.tan\widehat {SMA} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)