Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là bằng \(60^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng:
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(O\) là tâm của đáy\(ABC\)
Do hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp đều nên ta có \(SO \bot \left( {ABC} \right)\), \(AM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \),
\(OM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}a\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có diện tích đáy\(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.2a.2a.\sin 60^\circ = {a^2}\sqrt 3 \)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right.\)
Suy ra góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SMA} = 60^\circ \)
Xét tam giác \(SOM\)vuông tại \(O\)có: \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SO}}{{OM}} \Rightarrow SO = OM.tan\widehat {SMA} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\)
Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Trả lời