Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right)\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right)\) là

A. \(3\).

B. \(5\).

C. \(7\).

D. \(11\).

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống

Do \(y = f\left( x \right)\)là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định tại \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Theo đồ thị hàm số ta có được \(f’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1} \in \left( {0;1} \right)\\x = 1\\x = {x_2} \in \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\).

Mặt khác \(g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} – 3} \right)f’\left( {{x^3} – 3x + 1} \right)\) nên \(g’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} – 3 = 0\\f’\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  – 1\\{x^3} – 3x + 1 = {x_1}\\{x^3} – 3x + 1 = 1\\{x^3} – 3x + 1 = {x_2}\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} – 3x + 1\) trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(h’\left( x \right) = 3{x^2} – 3\), \(h’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  – 1\end{array} \right.\), từ đó ta có BBT của \(y = h\left( x \right)\) như sau

Từ BBT của hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} – 3x + 1\) nên ta có \(h\left( x \right) = {x_1} \in \left( {0;1} \right)\) có ba nghiệm phân biệt, \(h\left( x \right) = 1\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt, \(h\left( x \right) = {x_2} \in \left( {1;3} \right)\) có đúng ba nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác nhau đồng thời khác \(1\) và \( – 1\). Vì thế phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có đúng \(11\) nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số \(y = g\left( x \right)\)có \(11\) cực trị.

Cách 2: PP ghép trục

Từ đồ thị hàm số ta có được \(f’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a \in \left( {0;1} \right)\\x = 1\\x = b \in \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( a \right) < f\left( b \right) < 0\end{array} \right.\).

Đặt \(t = {x^3} – 3x + 1 \Rightarrow t’ = 3{{\rm{x}}^2} – 3\). Cho \(t’ = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1.\)

Ta sử dụng phương pháp ghép trục để lập bảng biến thiên cho hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right)\)

Từ bảng biến thiên trên ta thấy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right)\) có 11 điểm cực trị.