Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'(x) = {(x + 1)^2}\left( {{x^2} – 4x} \right)\).Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f\left( {2{x^2} – 12x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'(x) = {(x + 1)^2}\left( {{x^2} – 4x} \right)\).Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f\left( {2{x^2} – 12x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?

A. \(18.\)\(\)

B. \(17.\)

C. \(16.\)

D. \(19.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT .

Ta có:

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2}\left( {{x^2} – 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 0\\x = 4\end{array} \right.\), trong đó \(x = – 1\) là nghiệm kép.

\(g(x) = f\left( {2{x^2} – 12x + m} \right) \Rightarrow g’\left( x \right) = \left( {4x – 12} \right)f’\left( {2{x^2} – 12x + m} \right)\)

Xét \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {4x – 12} \right)f’\left( {2{x^2} – 12x + m} \right) = 0\) (*)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\2{x^2} – 12x + m = – 1\,\\2{x^2} – 12x + m = 0\\2{x^2} – 12x + m = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\2{x^2} – 12x + m = – 1\,\,(l)\\2{x^2} – 12x = – m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} – 12x = 4 – m\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

( Điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)\) là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình \(2{x^2} – 12x + m = – 1\))

Xét hàm số \(y = 2{x^2} – 12x\) có đồ thị (C).

\(y’ = 4x – 12\)

Ta có bảng biến thiên

Để \(g\left( x \right)\) có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) đều có hai nghiệm phân biệt khác \(3\).

Do đó, mỗi đường thẳng \(y = 4 – m\) và \(y = – m\) phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng \(y = 4 – m\) luôn nằm trên đường thẳng \(y = – m\).

Ta có: \( – 18 < – m\) \( \Leftrightarrow m < 18\). Vậy có \(17\) giá trị \(m\) nguyên dương.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Cực trị của hàm số