📌 Đề bài (Câu 13 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm Trả lời ngắn (SA – Điền kết quả số/giá trị ngắn)):
Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$. Tính hệ số góc $k$ của đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$.
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tọa độ hai điểm cực trị $A$ và $B$
Hàm số đã cho: $y = x^3 – 3x^2 + 2$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 6x$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A(0; 2) \\ x = 2 \Rightarrow y = -2 \Rightarrow B(2; -2) \end{array}\right.$
Do đó, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A(0; 2)$ và $B(2; -2)$.
Bước 2: Tính hệ số góc $k$ của đường thẳng $AB$
Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$ được xác định theo công thức:
$$k = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{-2 – 2}{2 – 0} = \frac{-4}{2} = -2.$$
Cách khác (Phương pháp chia đa thức tìm đường thẳng cực trị):
Thực hiện chia $y$ cho $y’$: $x^3 – 3x^2 + 2 = (3x^2 – 6x)\left(\frac{1}{3}x – \frac{1}{3}\right) + (-2x + 2)$.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = -2x + 2$, suy ra hệ số góc $k = -2$.
👉 Đáp án (kết quả điền số): -2
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Cách 1 (Tìm toạ độ trực tiếp): Tìm nghiệm của $y’ = 0$ để xác định $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$. Hệ số góc của đường thẳng $AB$ là $k = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}$.
- Cách 2 (Phương trình đường thẳng qua 2 cực trị): Đối với hàm bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta chia $y$ cho $y’$: $y = y’ \cdot Q(x) + (Ax + B)$. Khi đó phương trình đường thẳng qua hai cực trị là $y = Ax + B$, với hệ số góc $k = A$.
- Để rèn luyện thêm các bài toán về cực trị hàm số, bạn có thể tham khảo thêm dạng toán số điểm cực trị của hàm số bậc ba hoặc dạng bài khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 1$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$. Tính hệ số góc $k$ của đường thẳng đi qua $A$ và $B$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$y’ = -3x^2 + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (hoặc $x = 2$). Tọa độ cực trị: $A(0; 1)$, $B(2; 5)$.
Hệ số góc: $k = \frac{5 – 1}{2 – 0} = 2$.
Đáp án: 2
Bài tập 2: Cho hàm số $y = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 1$ có hai điểm cực trị $M$ và $N$. Tìm hệ số góc của đường thẳng $MN$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
$y’ = 6x^2 – 6x – 12$. Thực hiện chia $y$ cho $y’$: $y = y’ \cdot \left(\frac{1}{3}x – \frac{1}{6}\right) – 9x – 1$.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = -9x – 1$, do đó hệ số góc $k = -9$.
Đáp án: -9
Bài tập 3: Cho hàm số $y = x^3 – 3x + 4$. Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
$y’ = 3x^2 – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Các điểm cực trị là $A(1; 2)$ và $B(-1; 6)$.
Phương trình đường thẳng $AB$: $y = -2x + 4$.
Cho $y = 0 \Rightarrow -2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
Đáp án: 2
Bài tập 4: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 1$ có hai điểm cực trị là $A$ và $B$. Tính hệ số góc $k$ của đường thẳng đi qua $A$ và $B$.
(Điền số kết quả dưới dạng số thập phân hoặc phân số thập phân nếu cần)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
$y’ = x^2 – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Với $x = 1 \Rightarrow y = \frac{7}{3} \Rightarrow A\left(1; \frac{7}{3}\right)$.
Với $x = 3 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow B(3; 1)$.
Hệ số góc $k = \frac{1 – \frac{7}{3}}{3 – 1} = \frac{-\frac{4}{3}}{2} = -\frac{2}{3}$.
Đáp án: -2/3
Bài tập 5: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 – 9x + 2$. Tìm tung độ gốc (hệ số tự do trong phương trình $y = kx + b$) của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
$y’ = 3x^2 – 6x – 9$. Thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y’$:
$y = (3x^2 – 6x – 9)\left(\frac{1}{3}x – \frac{1}{3}\right) – 8x – 1$.
Phương trình đường thẳng qua hai cực trị là $y = -8x – 1$. Tung độ gốc là $b = -1$.
Đáp án: -1
Để lại phản hồi