📌 Đề bài (Câu 11 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm Đúng/Sai (MSQ – Xét tính Đúng/Sai của 4 ý a, b, c, d)):
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x – 1)(x + 2)^2 (x – 3)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Phương trình $f'(x) = 0$ có 3 nghiệm là $x = 1, x = -2, x = 3$
b) Hàm số đạt cực trị tại $x = 1$ và $x = 3$
c) Điểm $x = -2$ là một điểm cực trị của hàm số
d) Hàm số có đúng 2 điểm cực trị
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Xét từng mệnh đề:
- Ý a): Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x + 2)^2(x – 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = -2 \\ x = 3 \end{array}\right.$. Do đó phương trình $f'(x) = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt là $x = 1, x = -2, x = 3$.
$\rightarrow$ Mệnh đề a) ĐÚNG. - Ý b), c), d):
Xét nghiệm và bội của các nghiệm của $f'(x) = 0$:- $x = 1$ là nghiệm đơn (bội $1$) $\Rightarrow f'(x)$ đổi dấu khi qua $x = 1$.
- $x = 3$ là nghiệm đơn (bội $1$) $\Rightarrow f'(x)$ đổi dấu khi qua $x = 3$.
- $x = -2$ là nghiệm bội chẵn (bội $2$ do có dạng $(x + 2)^2$) $\Rightarrow f'(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x = -2$.
Do đó:
- Hàm số đạt cực trị tại 2 điểm là $x = 1$ và $x = 3$ $\rightarrow$ Mệnh đề b) ĐÚNG.
- Điểm $x = -2$ không phải là điểm cực trị của hàm số $\rightarrow$ Mệnh đề c) SAI.
- Hàm số $y = f(x)$ có đúng 2 điểm cực trị $\rightarrow$ Mệnh đề d) ĐÚNG.
👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng (Đáp án: A, B, D)
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
- Định nghĩa cực trị: Điểm $x_0$ là điểm cực trị của hàm số liên tục $y = f(x)$ nếu đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$.
- Quy tắc xét cực trị từ đạo hàm dạng nhân tử $f'(x) = (x – x_1)^{\alpha_1}(x – x_2)^{\alpha_2}\dots(x – x_n)^{\alpha_n}$:
- Nếu số mũ $\alpha_i$ là số lẻ (nghiệm bội lẻ) $\Rightarrow f'(x)$ đổi dấu khi qua $x_i$ $\Rightarrow x_i$ là điểm cực trị.
- Nếu số mũ $\alpha_i$ là số chẵn (nghiệm bội chẵn) $\Rightarrow f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x_i$ $\Rightarrow x_i$ không phải là điểm cực trị.
- Tham khảo thêm dạng toán tương tự: Tìm số điểm cực trị của hàm số từ $f'(x)$ chứa nhân tử bội chẵn, bội lẻ hoặc bài toán xác định số điểm cực trị cơ bản.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x^2(x – 2)^3(x + 1)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Phương trình $f'(x) = 0$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.
b) Điểm $x = 0$ là một điểm cực trị của hàm số.
c) Hàm số đạt cực trị tại các điểm $x = -1$ và $x = 2$.
d) Hàm số có tổng cộng 3 điểm cực trị.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (bội 2), $x = 2$ (bội 3), $x = -1$ (bội 1). $\Rightarrow$ Ý a Đúng.
– $x = 0$ là nghiệm bội chẵn nên $f'(x)$ không đổi dấu qua $x = 0 \Rightarrow x = 0$ không là cực trị $\Rightarrow$ Ý b Sai.
– $x = -1$ và $x = 2$ là các nghiệm bội lẻ nên $f'(x)$ đổi dấu qua hai điểm này $\Rightarrow$ Ý c Đúng.
– Hàm số có đúng 2 điểm cực trị $\Rightarrow$ Ý d Sai.
Đáp án: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai
– $x = 0$ là nghiệm bội chẵn nên $f'(x)$ không đổi dấu qua $x = 0 \Rightarrow x = 0$ không là cực trị $\Rightarrow$ Ý b Sai.
– $x = -1$ và $x = 2$ là các nghiệm bội lẻ nên $f'(x)$ đổi dấu qua hai điểm này $\Rightarrow$ Ý c Đúng.
– Hàm số có đúng 2 điểm cực trị $\Rightarrow$ Ý d Sai.
Đáp án: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 2: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có $f'(x) = (x – 1)^4 (x + 3)^5 (2 – x)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề:
a) $x = 1$ là nghiệm bội chẵn của $f'(x) = 0$.
b) $f'(x)$ đổi dấu khi $x$ đi qua điểm $x = 1$.
c) Hàm số có 2 điểm cực trị là $x = -3$ và $x = 2$.
d) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– $x = 1$ có số mũ là 4 (chẵn) nên là nghiệm bội chẵn $\Rightarrow$ Ý a Đúng.
– Do là nghiệm bội chẵn nên $f'(x)$ không đổi dấu qua $x = 1 \Rightarrow$ Ý b Sai, Ý d Sai.
– Các nghiệm bội lẻ là $x = -3$ (bội 5) và $x = 2$ (bội 1), do đó hàm số có 2 điểm cực trị là $x = -3$ và $x = 2 \Rightarrow$ Ý c Đúng.
Đáp án: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai
– Do là nghiệm bội chẵn nên $f'(x)$ không đổi dấu qua $x = 1 \Rightarrow$ Ý b Sai, Ý d Sai.
– Các nghiệm bội lẻ là $x = -3$ (bội 5) và $x = 2$ (bội 1), do đó hàm số có 2 điểm cực trị là $x = -3$ và $x = 2 \Rightarrow$ Ý c Đúng.
Đáp án: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 3: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x^2 – 4)(x – 2)^2(x + 1)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề:
a) $f'(x)$ có thể viết lại thành $f'(x) = (x + 2)(x – 2)^3(x + 1)$.
b) Phương trình $f'(x) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.
c) Điểm $x = 2$ không phải là điểm cực trị của hàm số.
d) Hàm số có tất cả 3 điểm cực trị.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– Ta có $x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$, nên $f'(x) = (x – 2)(x + 2)(x – 2)^2(x + 1) = (x + 2)(x + 1)(x – 2)^3 \Rightarrow$ Ý a Đúng.
– Phương trình $f'(x) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $x = -2, x = -1, x = 2 \Rightarrow$ Ý b Đúng.
– Cả 3 nghiệm $x = -2$ (bội 1), $x = -1$ (bội 1), $x = 2$ (bội 3) đều là các nghiệm bội lẻ nên $f'(x)$ đổi dấu qua cả 3 nghiệm $\Rightarrow$ $x = 2$ là điểm cực trị $\Rightarrow$ Ý c Sai.
– Hàm số có đúng 3 điểm cực trị $\Rightarrow$ Ý d Đúng.
Đáp án: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
– Phương trình $f'(x) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $x = -2, x = -1, x = 2 \Rightarrow$ Ý b Đúng.
– Cả 3 nghiệm $x = -2$ (bội 1), $x = -1$ (bội 1), $x = 2$ (bội 3) đều là các nghiệm bội lẻ nên $f'(x)$ đổi dấu qua cả 3 nghiệm $\Rightarrow$ $x = 2$ là điểm cực trị $\Rightarrow$ Ý c Sai.
– Hàm số có đúng 3 điểm cực trị $\Rightarrow$ Ý d Đúng.
Đáp án: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
Bài tập 4: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x^2 – 1)^2(x – 3)^3$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) $f'(x) = 0$ có 4 nghiệm thực phân biệt gồm $x = 0, x = 1, x = -1, x = 3$.
b) $x = 1$ và $x = -1$ là các điểm cực trị của hàm số.
c) Hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 0$ và $x = 3$.
d) Hàm số có 4 điểm cực trị.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– Biến đổi: $f'(x) = x(x – 1)^2(x + 1)^2(x – 3)^3$. Các nghiệm là $x = 0$ (bội 1), $x = 1$ (bội 2), $x = -1$ (bội 2), $x = 3$ (bội 3) $\Rightarrow$ Ý a Đúng.
– $x = \pm 1$ là nghiệm bội chẵn nên $f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x = \pm 1 \Rightarrow$ không phải cực trị $\Rightarrow$ Ý b Sai.
– $x = 0$ và $x = 3$ là nghiệm bội lẻ nên là điểm cực trị $\Rightarrow$ Hàm số có đúng 2 điểm cực trị $\Rightarrow$ Ý c Đúng, Ý d Sai.
Đáp án: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai
– $x = \pm 1$ là nghiệm bội chẵn nên $f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x = \pm 1 \Rightarrow$ không phải cực trị $\Rightarrow$ Ý b Sai.
– $x = 0$ và $x = 3$ là nghiệm bội lẻ nên là điểm cực trị $\Rightarrow$ Hàm số có đúng 2 điểm cực trị $\Rightarrow$ Ý c Đúng, Ý d Sai.
Đáp án: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 5: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x^2 + 1)(x – 4)^2(x + 5)^3$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Nhân tử $x^2 + 1 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ nên không ảnh hưởng đến dấu của $f'(x)$.
b) Phương trình $f'(x) = 0$ có 2 nghiệm thực là $x = 4$ và $x = -5$.
c) Điểm $x = 4$ là một điểm cực trị của hàm số.
d) Hàm số $y = f(x)$ có duy nhất 1 điểm cực trị là $x = -5$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R} \Rightarrow$ Ý a Đúng.
– $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4$ (bội 2) hoặc $x = -5$ (bội 3) $\Rightarrow$ Ý b Đúng.
– $x = 4$ là nghiệm bội chẵn nên qua đó $f'(x)$ không đổi dấu $\Rightarrow x = 4$ không là cực trị $\Rightarrow$ Ý c Sai.
– Chỉ có $x = -5$ là nghiệm bội lẻ nên hàm số có duy nhất 1 điểm cực trị $x = -5 \Rightarrow$ Ý d Đúng.
Đáp án: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
– $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4$ (bội 2) hoặc $x = -5$ (bội 3) $\Rightarrow$ Ý b Đúng.
– $x = 4$ là nghiệm bội chẵn nên qua đó $f'(x)$ không đổi dấu $\Rightarrow x = 4$ không là cực trị $\Rightarrow$ Ý c Sai.
– Chỉ có $x = -5$ là nghiệm bội lẻ nên hàm số có duy nhất 1 điểm cực trị $x = -5 \Rightarrow$ Ý d Đúng.
Đáp án: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
Để lại phản hồi