Sách Toán - Học Toán - Đề Thi Toán

Học toán, Đề thi toán, Sách giáo khoa Toán, trắc nghiệm Toán online

Cho hàm số $y = f(x) = x^3 – 3x^2 + 4$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Cực trị của hàm số - -

📌 Đề bài (Câu 9 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm Đúng/Sai (MSQ – Xét tính Đúng/Sai của 4 ý a, b, c, d)):

Cho hàm số $y = f(x) = x^3 – 3x^2 + 4$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 0$
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$
c) Giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}} = 4$
d) Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{CT}} = 0$

💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)

Bước 1: Tìm tập xác định và tính đạo hàm

– Tập xác định: $\mathcal{D} = \mathbb{R}$.

– Ta có đạo hàm: $y’ = f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$.

– Giải phương trình đạo hàm bằng $0$:

$$y’ = 0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}\right.$$

Bước 2: Xét dấu đạo hàm và lập bảng biến thiên

– Bảng xét dấu của $y’$:

  • Với $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$ thì $y’ > 0$.
  • Với $x \in (0; 2)$ thì $y’ < 0$.

– Khi qua điểm $x = 0$, $y’$ đổi dấu từ dương ($+$) sang âm ($-$) $\Rightarrow$ Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 0$.

– Khi qua điểm $x = 2$, $y’$ đổi dấu từ âm ($-$) sang dương ($+$) $\Rightarrow$ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$.

Bước 3: Tính các giá trị cực trị của hàm số

– Giá trị cực đại: $y_{\text{CĐ}} = f(0) = 0^3 – 3\cdot 0^2 + 4 = 4$.

– Giá trị cực tiểu: $y_{\text{CT}} = f(2) = 2^3 – 3\cdot 2^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0$.

Bước 4: Xét tính đúng/sai của từng mệnh đề

  • a) Đúng: Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 0$.
  • b) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$.
  • c) Đúng: Giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}} = 4$.
  • d) Đúng: Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{CT}} = 0$.

👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng (A, B, C, D)

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ

Để xác định số điểm cực trị của hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$):

  1. Tính đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$. Giải phương trình $y’ = 0$.
  2. Dấu hiệu 1:
    • Nếu $y’$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x_0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.
    • Nếu $y’$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x_0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$.
  3. Phân biệt thuật ngữ:
    • Điểm cực trị của hàm số: $x_0$ ($x_{\text{CĐ}}, x_{\text{CT}}$).
    • giá trị cực tiểu của hàm số / giá trị cực đại: $y_0 = f(x_0)$ ($y_{\text{CĐ}}, y_{\text{CT}}$).
    • Điểm cực trị của đồ thị hàm số: Tọa độ điểm $M(x_0; y_0)$. Học sinh có thể tham khảo bài toán tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị để củng cố dạng toán này.

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai)

Bài tập 1: Cho hàm số $y = f(x) = x^3 – 3x + 2$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$.
c) Giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}} = 4$.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{CT}} = 0$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1

Ta có $y’ = 3x^2 – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

– Tại $x = -1$, $y’$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đạt cực đại, $y(-1) = 4$.

– Tại $x = 1$, $y’$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đạt cực tiểu, $y(1) = 0$.

Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng.

Bài tập 2: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 1$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 0$.
b) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$.
c) Giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}} = 3$.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{CT}} = -1$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2

Ta có $y’ = -3x^2 + 6x = -3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 2$.

– Do hệ số $a = -1 < 0$ nên qua $x = 0$, $y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$, $y(0) = -1$.

– Qua $x = 2$, $y’$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ $\Rightarrow$ hàm số đạt cực đại tại $x = 2$, $y(2) = 3$.

Kết luận: a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng.

Bài tập 3: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 1$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Điểm cực đại của hàm số là $x = 0$.
b) Điểm cực tiểu của hàm số là $x = 2$.
c) Giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}} = 1$.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{CT}} = 1$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3

Ta có $y’ = 3x^2 – 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

– Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, $y_{\text{CĐ}} = y(0) = 1$.

– Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$, $y_{\text{CT}} = y(2) = 2^3 – 3\cdot 2^2 + 1 = -3$. Do đó mệnh đề d sai.

Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai.

Bài tập 4: Cho hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x + 2$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 1$.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 3$.
c) Giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}} = 6$.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{CT}} = 2$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4

Ta có $y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x – 1)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

– Tại $x = 1$: $y’$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ $\Rightarrow$ hàm số đạt CĐ tại $x = 1$, $y_{\text{CĐ}} = 1 – 6 + 9 + 2 = 6$.

– Tại $x = 3$: $y’$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ hàm số đạt CT tại $x = 3$, $y_{\text{CT}} = 27 – 54 + 27 + 2 = 2$.

Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng.

Bài tập 5: Cho hàm số $y = f(x) = -x^3 + 3x$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = -1$.
c) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A(1; 2)$.
d) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $B(-1; -2)$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5

Ta có $y’ = -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

– Bảng xét dấu: $y’ < 0$ trên $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ và $y' > 0$ trên $(-1; 1)$.

– Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$, $y(-1) = -2 \Rightarrow$ Điểm cực tiểu của đồ thị là $(-1; -2)$.

– Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$, $y(1) = 2 \Rightarrow$ Điểm cực đại của đồ thị là $(1; 2)$.

Kết luận: a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng.

Reader Interactions

Để lại phản hồi