📌 Đề bài:
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{2\}$, liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để đọc đúng các thông tin cực trị từ bảng biến thiên, học sinh cần phân biệt rõ ràng các khái niệm cơ bản:
- Điểm cực đại của hàm số: là giá trị của $x$ tại đó đạo hàm $y’$ đổi dấu từ dương sang âm (ở đây $x_{CĐ} = 1$).
- Giá trị cực đại của hàm số (hoặc cực đại của hàm số): là giá trị $y_{CĐ} = f(x_{CĐ})$ (ở đây $y_{CĐ} = -2$).
- Điểm cực tiểu của hàm số: là giá trị của $x$ tại đó đạo hàm $y’$ đổi dấu từ âm sang dương (ở đây $x_{CT} = 3$).
- Giá trị cực tiểu của hàm số: là giá trị $y_{CT} = f(x_{CT})$ (ở đây $y_{CT} = 2$).
- Điểm cực trị của đồ thị hàm số: là các điểm có tọa độ $(x; y)$ trên mặt phẳng $Oxy$, gồm điểm cực đại $M(1; -2)$ và điểm cực tiểu $N(3; 2)$. Bạn đọc có thể xem thêm dạng tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số để củng cố kỹ năng này.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Quan sát bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$:
1. Tại điểm $x = 1$:
• $y’ = 0$ và $y’$ đổi dấu từ dương ($+$) sang âm ($-$) khi $x$ đi qua $1$.
• Do đó, hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 1$.
• Giá trị cực đại tương ứng của hàm số là $y_{CĐ} = f(1) = -2$.
2. Tại điểm $x = 3$:
• $y’ = 0$ và $y’$ đổi dấu từ âm ($-$) sang dương ($+$) khi $x$ đi qua $3$.
• Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 3$ và giá trị cực tiểu là $y_{CT} = f(3) = 2$.
⚠️ Lưu ý chống bẫy: Đề bài hỏi “Giá trị cực đại” tức là hỏi giá trị của $y$, không phải điểm cực đại $x$. Do đó, đáp án chính xác phải là $-2$, không chọn nhầm $1$.
👉 Kết luận: Chọn đáp án B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = 3x^2 – 6x$. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số biết rằng $f(0) = 5$.
Phương pháp giải dạng này tương tự bài toán tìm các điểm cực trị của hàm số bậc ba.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• Vì hệ số $a > 0$ nên qua $x = 2$, $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương $\Rightarrow x = 2$ là điểm cực tiểu.
• Ta có $f(x) = x^3 – 3x^2 + C$. Với $f(0) = 5 \Rightarrow C = 5 \Rightarrow f(x) = x^3 – 3x^2 + 5$.
• Giá trị cực tiểu: $y_{CT} = f(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 5 = 1$.
Đáp số: $y_{CT} = 1$.
Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}$. Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• Ta có $y = x + 1 + \frac{1}{x + 2} \Rightarrow y’ = 1 – \frac{1}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x+2)^2}$.
• $y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = -3$.
• Lập bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x = -3$, giá trị cực đại $y(-3) = -3$.
• Đồ thị có điểm cực đại là $M(-3; -3)$. Tham khảo thêm bài cực trị hàm phân thức bậc 2 trên bậc 1.
Đáp số: $M(-3; -3)$.
Bài tập 3: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên trên $[-3; 3]$ với các điểm đổi dấu của $f'(x)$ tại $x = -1$ (từ $+$ sang $-$) với $f(-1) = 4$, và $x = 2$ (từ $-$ sang $+$) với $f(2) = -1$. Tính tổng $S = x_{CĐ} + y_{CT}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT} = f(2) = -1$.
• Tổng $S = x_{CĐ} + y_{CT} = (-1) + (-1) = -2$.
Đáp số: $S = -2$.
Bài tập 4: Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = -x^3 + 3x^2 – 4$. Gọi $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• Với $x = 0 \Rightarrow y = -4 \Rightarrow A(0; -4)$ (điểm cực tiểu).
• Với $x = 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow B(2; 0)$ (điểm cực đại).
• Độ dài $AB = \sqrt{(2 – 0)^2 + (0 – (-4))^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}$.
Đáp số: $AB = 2\sqrt{5}$.
Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(m^2 – 1)x + 1$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 2mx + m^2 – 1 = 0 \Leftrightarrow \Delta’ = m^2 – (m^2 – 1) = 1 > 0$ (luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$).
• Theo định lý Vi-ét: $x_1 + x_2 = 2m$ và $x_1 x_2 = m^2 – 1$.
• $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1 x_2 = 4m^2 – 2(m^2 – 1) = 2m^2 + 2 = 10 \Leftrightarrow 2m^2 = 8 \Leftrightarrow m = \pm 2$.
Đáp số: $m = 2$ hoặc $m = -2$.
Để lại phản hồi