📌 Đề bài:
Cho hàm số $y = \frac{x^2 – x + 1}{x – 1}$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ bên dưới. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xác định cực trị của hàm số thông qua đồ thị hoặc công thức đại số của hàm phân thức hữu tỉ, ta cần phân biệt rõ các thuật ngữ cốt lõi:
- Điểm cực tiểu của hàm số: Là giá trị $x_{ct}$ của biến số $x$ (ở đây $x_{ct} = 2$).
- Giá trị cực tiểu của hàm số (cực tiểu): Là giá trị $y_{ct} = f(x_{ct})$ (ở đây $y_{ct} = 3$).
- Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số: Là cặp tọa độ $M(x_{ct}; y_{ct})$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (ở đây là $M(2; 3)$). Tương tự, bạn có thể tham khảo thêm dạng toán về điểm cực tiểu của hàm số bậc ba để nắm vững sự phân biệt này.
Cách quan sát đồ thị: Điểm cực tiểu của đồ thị là “điểm đáy lõm” của nhánh đồ thị bên phải, tại đó tiếp tuyến của đồ thị song song với trục hoành $Ox$. Chiếu điểm đó vuông góc xuống trục $Ox$ ta thu được hoành độ $x$, chiếu vuông góc sang trục $Oy$ ta thu được tung độ $y$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Cách 1: Đọc trực tiếp từ đồ thị hàm số
Quan sát hình vẽ, nhánh đồ thị bên phải đường tiệm cận đứng $x = 1$ có một điểm lõm xuống thấp nhất cục bộ (điểm cực tiểu). Chiếu điểm này vào các trục tọa độ:
- Chiếu vuông góc xuống trục hoành $Ox$, ta nhận được hoành độ $x = 2$.
- Chiếu vuông góc sang trục tung $Oy$, ta nhận được tung độ $y = 3$.
Do đó, tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(2; 3)$.
Cách 2: Khảo sát đại số để kiểm tra lại kết quả
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Biến đổi hàm số: $y = \frac{x(x – 1) + 1}{x – 1} = x + \frac{1}{x – 1}$.
Đạo hàm bậc nhất:
$$y’ = 1 – \frac{1}{(x – 1)^2} = \frac{(x – 1)^2 – 1}{(x – 1)^2} = \frac{x^2 – 2x}{(x – 1)^2} = \frac{x(x – 2)}{(x – 1)^2}$$Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned}\right.$ (đều thuộc tập xác định $D$).
Xét dấu của đạo hàm $y’$:
- Khi đi qua $x = 0$, $y’$ đổi dấu từ dương sang âm $\Rightarrow x = 0$ là điểm cực đại của hàm số, giá trị cực đại $y(0) = -1$. Điểm cực đại của đồ thị là $(0; -1)$. Bạn đọc có thể xem lại phương pháp phân tích các điểm cực trị của hàm số phân thức tương tự.
- Khi đi qua $x = 2$, $y’$ đổi dấu từ âm sang dương $\Rightarrow x = 2$ là điểm cực tiểu của hàm số, giá trị cực tiểu tương ứng là $y(2) = \frac{2^2 – 2 + 1}{2 – 1} = 3$.
Vậy tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(2; 3)$.
👉 Kết luận: Chọn đáp án B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng bao nhiêu?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Đạo hàm: $y’ = 1 – \frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{(x+1)^2 – 1}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -2$ hoặc $x = 0$.
Bảng xét dấu $y’$ cho thấy hàm số đạt cực đại tại $x = -2$.
Giá trị cực đại của hàm số là $y_{cđ} = y(-2) = \frac{(-2)^2 + 2(-2) + 2}{-2 + 1} = \frac{2}{-1} = -2$.
Bài tập 2: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ và có đạo hàm $f'(x) = \frac{(x-3)(x-1)}{(x-2)^2}$. Hỏi hàm số $y = f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Mẫu số $(x-2)^2 > 0$ với mọi $x \ne 2$, do đó đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu khi qua $x = 1$ (từ dương sang âm) và khi qua $x = 3$ (từ âm sang dương).
Vậy hàm số có đúng $2$ điểm cực trị (1 cực đại tại $x = 1$ và 1 cực tiểu tại $x = 3$).
Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 3x + 6}{x – 1}$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho bằng bao nhiêu?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
$y’ = 1 – \frac{4}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 – 4}{(x-1)^2} = \frac{x^2 – 2x – 3}{(x-1)^2}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.
Với
Để lại phản hồi